Question

初三数学几何证明 在线等

如图，已知正方形ABCD的边长为1，G为CD边上任意一点（点G与C、D不重合），以CG为边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H。
若tan∠GBC=√2-1，求四边形CEHG的面积

Answer 1

你好，Soul﹏P：

解：
连接GE
∵四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD，∠BCD＝90°
∵四边形GCEF是正方形
∴GC＝CE，∠DCE＝90°
∴∠BCD＝∠DCE
∴△BCG≌△DCE(SAS)
∴∠CBG＝∠CDE
∵∠CDE＋∠CED＝90°
∴∠CBG＋∠CED＝90°
∴∠BHE＝90°
∴BH⊥DE

∵tan∠GBC＝√2－1，BC＝CD＝1
∴GC＝BC×tan∠GBC＝√2－1＝CE
∴DG＝DC－GC＝1－(√2－1)＝2－√2
∵在Rt△GCE中，GE²＝GC²＋CE²＝(√2－1)²＋(√2－1)²＝6－4√2
而DG²＝(2－√2)²＝6－4√2
∴GE²＝DG²
∴GE＝DG
∴DH＝HE(等腰三角形中，三线合一)
∴S△GHE＝1/2S△DGE
∴S四边形CEHG
＝SRt△GCE＋SRt△GHE
＝1/2×CG×CE＋1/2S△DGE
＝1/2×CG×CE＋1/2×(1/2×DG×CE)
＝1/2×(√2－1)(√2－1)＋1/2×1/2×(2－√2)×(√2－1)
＝3/2－√2＋(3√2/4)－1
＝1/2－√2/4

Answer 2

根据基本几何知识：
因为∠GBC=∠CDE
所以∠GBC+∠DEC=90
故BH⊥DE

根据题意：
tanGBC=根号2-1
GC=根号2-1
CE=根号2-1
BE=根号2
利用勾股定理计算
BG=根号（4-2根号2）
所以cosGBC=1/(根号（4-2根号2）

在RT三角形BHE中
cosGBC=BH/BE
BH=根号2/(根号（4-2根号2）

同理：
HE=(2-根号2)/(根号（4-2根号2）

s△BHE=HE*BH/2=根号2/4

s△GBC=(根号2-1)/2

s四边CEHG=s△BHE-s△GBC
=（2-根号2）/4

Answer 3

解：在△BCG与△DCE中，∠BCG=∠DCE,且BC=DC,GC=CE(均为正方形）
所以，△BCG全等于△DCE，所以∠GBC=∠EDC,又因为∠BGC=∠DGH,
所以△BCG相似于△DHG(同时相似于△DCE）,有∠DHG为直角。
四边形CEHG的面积=△DCE-△DHG
tan∠GBC=√2-1 ,BC=1,即CG=√2-1 所以DG=1-(√2-1)=2-√2
应用相似形的面积之比为相似比的平方有：
△DHG/△DCE=(DG/DE)^2 ,△DCE面积可求为（√2-1)/2
ED=根号下（4-2√2）
代入可求：△DHG面积
再用,△DCE面积-△DHG面积就行了

Answer 4

因为∠EDC=∠GBC,所以在三角形CDE与三角形BEH中，∠BHE=∠ECD=90度
因为三角形BEH相似于三角形BCG，所以BC/BH=BG/BE=CG/HE
因为tan∠GBC=√2-1，BC=1，所以CG=√2-1，BG=√（4-2√2），BE=√2
所以√（2-√2）=1/BH=(√2-1)/EH，BH=√（2+√2）/√2，EH=√（2-√2）/√2
因为S四边形CEHG=S三角形BEH-S三角形BCG=1/2*BH*EH-1/2*1*(√2-1)=(2-√2)/4

Answer 5

3-2√2
我这里画图麻烦，你在H作一条垂直于DC的直线，交点为O
首先可以算出GC=√2-1，DG=2-√2，HO=（√2-1）GO，再利HO平线CE关关系，即HO/CE=DO/DC，DO=2-√2-（（√2-1）GO），代入可算得HO，三角形面积DGH就可以算得，而三角形DCE面积也可算出，所以四边形CEHG面积就可用三角形DCE面积减去三角形DGH的面积算出