Question

当a>1时,函数f(x)=x+acosx在区间[0,π]上的极大值为M,极小值为m,则M+m=

Answer 1

f(x) = x + a cosx
令 f ' (x) = 1 - a sinx = 0 ===> sinx = 1/a 由 a>1和 区间[0,π] 得： 0 < 1/a < 1
设 sinx = 1/a 的两个解为 α ∈(0, π/2) 和 π - α ∈(π/2, π) -------这一步很关键
由于f '' (x) = - a cosx ，可见 x = α 取极大值M 在 x = π - α 取极小值m
答案： M + m = π ----------已经利用了 cos(π - α) = - cosα 的结果

补充，假如已知条件再加上一条：极小值m = 0，那还会有进一步的结论：
极小值m = (π - α) + a cos(π - α) = 0 ========> α + a cosα = π
也就是说此时 (指加上条件极小值m = 0)，则原函数的极大值M = π
这个题目很经典，不错！

Answer 2

解：因为f(x)=x+acosx,且a>1
即有f'(x)=1-acosx
令f'(x)=1-acosx=0
解得x1=arcsin(1/a) x2=π-arcsin(1/a)
又因为在[0,arcsin(1/a)]上f'(x)>=0,而在[arcsin(1/a)，π-arcsin(1/a)]上f'(x)<=0
在[π-arcsin(1/a)，π]上f'(x)>=0，所以
极大值在x1=arcsin(1/a)处取得，极小值在x2=π-arcsin(1/a)处取得
故M+m=f(x1)+f(x2)=arcsin(1/a) +acos(arcsin(1/a)) +π-arcsin(1/a)+acos(π-arcsin(1/a))
解毕#

Answer 3

求导，令f'(x)=1-asinx=0
解得X1=arcsin(1/a) X2=π-arcsin(1/a)
因为在[0,arcsin(1/a)]和[π-arcsin(1/a)，π]上f'(x)>=0,而在[arcsin(1/a)，π-arcsin(1/a)]上f'(x)<=0
所以在X1=arcsin(1/a)处取得极大值，在X2=π-arcsin(1/a)处取得极小值
f'(x)=1-acosx=0 得sinx=1/a 所以cosx=正负a*(1-1/a^2)的平方根
M+m=f(x1)+f(x2)=arcsin(1/a)+a*(1-1/a^2)的平方根+π-arcsin(1/a)-a*(1-1/a^2)的平方根=π