Question

求微积分高手解决带根号定积分一题！

题：积分域是-1到1，被积函数是根号下2-x^2分之根2-x 求详解，多谢各位大侠，如有公式啥的，求公式！在此拜谢！

Answer 1

先计不定积分：
令x=√2sinθ，dx=√2cosθdθ
√(2-x²)=√2cosθ得出cosθ=√(2-x²)/√2
原式=∫(√2-√2sinθ) dθ
=√2θ+√2cosθ+C
=√(2-x²)+√2arcsin(x/√2)+C
代入上下限。定积分为π/√2

Answer 2

化简：√2-x/√（2-x²）=1/√（√2+x） 因为x∈（-1,1），根据定义域，可以直接化简。
替换：令t=√2+x ，因此，原式=1/t t∈（√2-1，√2+1）。
求解： ∫1/tdt=lnt=2ln（√2+1）

Answer 3

因(√2-x ）/√(2-x^2)=1/(√2-x ),令t=√2-x ,则换元后的积分域是√2-1到 √2+1，
而∫1/td(√2-t)=-∫1/tdt=-lnt，用上下限代入就可得出答案

Answer 4

(√2-x)/√(2-x^2)=1/√(√2+x)
I=∫(-1到1)(√2+x)^(-1/2)=[2(√2+x)^(1/2)](-1到1)=2(√(√2+1)-√(√2-1))