Question

已知抛物线y=二分之一x 的平方减x加k与x轴有两个交点。 设抛物线与x轴交于A、B两点，且点A 在点B的左侧，

点D 是抛物线的顶点，如果△ABD是等腰直角三角形，求抛物线解析式
（2）在1的条件下，抛物线与y轴交于点C，点E在y轴的正半轴上，且以A、O、E为顶点的三角形和以B、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标！！

Answer 1

抛物线y=x^2 / 2 -x +k 与x轴交于A、B两点，且点A 在点B的左侧,
所以 AB x坐标满足 x^2 / 2 -x +k =0. 解得：A 为(1-sqrt(1-2k) ,0), B 为(1+sqrt(1-2k) ,0) (sqrt 根号)
D为顶点， y=x^2 / 2 -x +k = (x-1)^2 / 2 + k - 1/2, 所以， D为(1, k - 1/2)
△ABD必然等腰， 因为对称性， 直角肯定是角ADB，即向量DA与DB垂直，或内积为0
向量DA = (-sqrt(1-2k), 1/2 - k) 向量DB=(sqrt(1-2k), 1/2 - k)
所以内积 -(1-2k)+(1/2-k)^2 = 0 k=1/2, 或 -3/2
k=1/2 舍去，因为k=1/2时，抛物线只交x轴于一点， A，B，D三点合为一点
所以 抛物线为 y=x^2 / 2 -x -3 / 2
（如果不懂向量和内积，可以用斜率 DA斜率 -(1/2-k)/sqrt(1-2k) DB斜率 (1/2-k)/sqrt(1-2k)
二者垂直，斜率乘积为 -1， 结果一样 ）

（2）A为 (-1, 0)， B为 (3, 0)
抛物线为 y=x^2 / 2 -x -3 / 2， 令x=0， 得 y= -3/2 ， 所以 C为 (0, - 3/2)
△AOE , △BOC 都是直角三角形，O为直角， 相似有两种情况：
1. OA对应OB，OE对应OC，则：OA / OB = OE / OC
所以 OE = OA*OC / OB = 1*3/2 / 3 = 1/2 所以 E为 (0, 1/2)
2. OA对应OC，OE对应OB，则：OA / OC = OE / OB
所以 OE = OA*OB / OC = 1*3 / (3/2) = 2 所以 E为 (0, 2)
最后E为 (0, 1/2) 或 (0, 2)