Question

已知x2+y2-2ax-4ay+4a2=0,求证：1.不论a为何值，上述圆的圆心在同一条直线上。 2.不论a为何值，上述圆都有

公切线，并求共切线的方程。在线等

Answer 1

1、(x－a)²＋(y－2a)²=a²。圆心是(a，2a)在直线y=2x上；
2、设公切线是y=kx＋t，则圆心到直线的距离为3|a|，即|2a－ak－t|/√(1＋k²)=a对任意a恒成立，化简得：(k－2)²=k²＋1且t(k－2)=0且t=0，得k=3/4，t=0，则当a变化时，所有的圆都与直线y=(3/4)x相切。

Answer 2

解：方程整理：(x-a)^2+(y-2a)^2=a^2
即该圆族圆心坐标为（a,2a),半径为a。
1）设某两圆的a值分别为a1,及a2,圆心坐标分别为（a1,2a1)及（a2,2a2)
此两圆圆心所在直线：（y-2a1)(a2-a1)=(x-a1)(2a2-2a1) [两点式，变形]
整理：y=2x 即：圆心所在直线与a无关。
2）由方程可知，所有圆的半径都为a,圆心横坐标也为a，所以x=0（就是y轴）是这些圆的一条公切线。（其实，它们还有另一条公切线：3x-4y=0.不过从题中看不出对它的证明要求和计算要求。若需要，请追问！）