Question

哪位高手帮忙求一下微分方程,要过程哈！谢谢啦！

y的四阶导数+y=2*e^x
y(0)=y`(0)=y``(0)=y```(0)=1
在x=0处y的值，y的一阶导数值，y的二阶导数值，y的三阶导数值均为0

Answer 1

首先观察得到方程的一个特解：y*=e^x
再求解对应齐次方程：y的四阶导数+y=0
显然对应的辅助方程为：r^4+1=0
解得：r=(±1/√2)±i(1/√2)……………………………………一共四个解
对应方程的通解为：
y1=[(C1)cos(x/√2)+(C2)sin(x/√2)]exp(x/√2)+[(C3)cos(x/√2)+(C4)sin(x/√2)]exp(-x/√2)
所以对应非齐次方程的通解为：
y=y*+y1=(e^x)+[(C1)cos(x/√2)+(C2)sin(x/√2)]exp(x/√2)+[(C3)cos(x/√2)+(C4)sin(x/√2)]exp(-x/√2)
最后将四个边界条件代入方程就得到准确的解。

追问

r^2=i是怎么解的？谢谢啦！

追答

这用复数的运算法则就可以，设复数z=r·exp(iθ)，那么就有其n次方根：
(r的实n次方根)·exp[i((θ+2kπ)/n)]，k=0,1,2,…,n-1(当k大于等于n时会与前面的根重复，总共有n个根)

Answer 2

对应特征根方程:r^4+1=0,
解出4个对应的解
分别为正负2分之根号2 加减 正负2分之根号2 i ,其中i是虚数单位,记为a,b,c,d
那么:y=Ae^xa+Be^xb+Ce^xc+De^xd 其中A,B,C,D为常数
为一个原方程对应的齐次方程的通解
并且y=e^x显然是原方程的特解,所以
y=Ae^xa+Be^xb+Ce^xc+De^xd+e^x为原方程的通解
把它代到原方程,并且把条件都用上,就能解出了,具体的你自己算一下,比较繁琐
打字不太好解释,你应该可以搞定

楼上的不正确,你如果设y'''=2*e^x+a,那么让它对x求导得到:y''''=2*e^x,代回去的话得到y恒=0,显然这是不正确的

追问

r^2=i是怎么解的？谢谢啦！

追答

设置r=a+bi,其中a,b为实数,然后死做

Answer 3

y的四阶导数+y=2*e^x （e^x 的导数为其自身）
则可设其三阶导数y```=2*e^x+a，y```(0)=2+a=1，得到a=-1；
由y```=2*e^x-1，
设y``=2*e^x-x+b， y``(0)=2+b=1，得到b=-1；
由y``=2*e^x-x-1，
设y`=2*e^x-1/2*x^2-x+c， y`(0)=2+c=1，得到c=-1；
由y`=2*e^x-1/2*x^2-x-1，
设设y=2*e^x-1/6*x^3-1/2*x^2-x+d， y(0)=2+d=1，得到d=-1；
得到y=2*e^x-1/6*x^3-1/2*x^2-x-1

Answer 4

y的四阶导数+y=2*e^x （e^x 的导数为其自身）
则可设其三阶导数y```=2*e^x+a，y```(0)=2+a=1，得到a=-1；
由y```=2*e^x-1，
设y``=2*e^x-x+b， y``(0)=2+b=1，得到b=-1；
由y``=2*e^x-x-1，
设y`=2*e^x-1/2*x^2-x+c， y`(0)=2+c=1，得到c=-1；
由y`=2*e^x-1/2*x^2-x-1，
设设y=2*e^x-1/6*x^3-1/2*x^2-x+d， y(0)=2+d=1，得到d=-1；
得到y=2*e^x-1/6*x^3-1/2*x^2-x-1
希望对你有帮助！另建议去买一本《大学微积分》，对你今后的学习会有帮助的！