Question

几何面积问题

在边长为3，4的矩形中有E,F两点，且保持∠AED=∠CFB=60°，求S△AED+S△CFB 的最大值，并说明理由

Answer 1

达最大面积时，△AED、△CFB 都是等边三角形，所以△AED+S△CFB最大值为8*3^(1/2) 。即8乘根号3.
以△AED来说，相当于AD为圆上一个弦，且对应的圆周角为60度，E点可以圆周上任意移动，△AED的面积为以AD为底，以弦上任意一点到AD的距离为高的三角形面积，当然，当弦上的任意点位于AD的垂直平分线上时，高最大，此时为等边三角形。所以有如上结论。

追问

△AED、△CFB 都是等边三角形,点E,F不是跑到矩形外面了吗？
还要考虑是否两三角形会有重合部分啊！

追答

的确，我考虑不周，忽视了E、F两点在矩形内部的。
会重新考虑此问题。
下图是严格按比例画出。
可以认为，BC是一个圆的弦，弦长为4，与BC相对应的圆周角为60°，考虑∠CFB=60°，所以F点一定是位于下图中弧B、F1、F、F2、C上。现在我们关心的是F点位于弧上哪一点，S△CFB面积最大，且要考虑到F在矩形ABCD内部；
考虑到S△CFB的面积可以这样计算：以BC为底，以F到BC的距离为高，则显然，F越接近弧BC的中点，S△CFB越大。再考虑到△AED与△CFB不可重叠，所以当F位于对角线AC与弧的交点时，S△AED+ S △CFB有最大值。
下面就是计算出来的值了。
已知 AB＝3 BC＝4
可计算出：圆半径为4/√3＝2.31，CF1为直径，长为4.62，∠BCF1＝30°，∠BCF＝37°，所以CF＝CF1*cos7°=4.62*0.9925=4.586，所以△CFB的高为CF*cos37°=4.586*0.8=3.668，S △CFB＝4*3.668/2＝7.337，则S△AED+S△CFB的最大值为14.67。
但楼下说的E与C重合是不行的，那与∠AED=∠CFB=60°矛盾。

Answer 2

实际上从题设出发E.F不能跑到外面去.所以上面回答的必然不是正解.也就是说解题过程对边长为3完全无视....所以肯定错了..而你所提到的重合部分的问题.这个可以考虑你面积最大值的+是数值相加还是逻辑的并.这个可以根据你的所学有不同的理解.如果说单纯的面积数值相加.那就是3*4/2*2=12.底边的4.高是3.如果是逻辑的并集.那么可以假设.ED交CF于H点.那么就是求DCH的最小值.并且∠DHC=120度.你会发现.其实有一种情况对于两者都是合适的.那就是E和C重合.F和A重合的时候...两种情况的面积都能达到最大.并且相加是整个矩形