Question

定义在R上的函数f（x）=（x+b）/(ax^2+1)是奇函数（a≠0） 当且仅当x=1时，f（x）取得最大值

1）求a.b的值
2)若方程f(x)+mx/1+x=0在区间（-1，1）上有且仅有两个不同实根 求实数m的取值范围

Answer 1

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Answer 2

（1）f（x）是奇函数，就有f（0）=0，将x=0带入f（x）中，得到b=0
f（x）的最大值就是这个函数的导数f‘（x）=0时，为f’（x）=（1-ax²）/（ax²+1）²=0
而且当x=1时取到最大值，（ax²+1）²≥0,那么1-a=0，a=1
所以f’（x）=（1-x²）/（x²+1）²，验证一下是否x=1是最大值，当x<1时，f’（x）>0，当x>1时，
f’（x）<0，因此x=1是取最大值的点，f（x）=x/（x²+1）
(2)不懂是mx/（1+x）还是mx+x

追问

mx/（1+x）

追答

x/（x²+1）+mx/（1+x）=0，x∈（-1，1），所以1+x≠0，化简一下得x（mx²+x+1+m）=0，x=0是这个方程得一个实根，mx²+x+1+m=0，1+m=0，m=-1，题目说有两个不同的实根，△=0，1-4m（1+m）＞0，解得m=（-1±√2）/2，m＞（-1+√2）/2≈0.2，或m＜（-1-√2）/2≈-1.2，使x∈（-1，1），那么顶点x=-b/（2a）必须在属于（-1，1），所以当x=1时，m+1+1+m=0，m=-1，而x=-1/（2m）=1/2，所以能使方程有两个不同的实根，-1＜-1/（2m）＜1/2，解得到m＞1/2
因此m的取值范围为m＞1/2