Question

数列｛an}均为正数，满足a1=1,a(n+1)^2-an^2=2，求an通项公式

Answer 1

a(n+1)²-an²=2
∴数列{an²}为等差数列，公差d=2
a1²=1
∴an²=1+(n-1)×2=2n-1
又∵an＞0
∴an=√(2n-1)

追问

求证:1/a1+1/a2+。。。+1/an<=根号下2n-1

追答

1/a1+1/a2+……+1/an
=1 + 1/√3 + 1/√5 + …… + 1/√(2n-1)
=1 + 2/(2√3) + 2/(2√5) + …… + 2/[2√(2n-1)]
≤1 + 2/(√1+√3) + 2/(√3+√5) + …… + 2/[√(2n-3)+√(2n-1)]
=1 + (√3-√1) + (√5-√3) + ……+ [√(2n-1.)-√(2n-3)]
=√(2n-1)