Question

已知数列{an}满足a1=16,An+1-An=2n,则an/n的最小值为 详解

Answer 1

a(n+1)-an=2n
an-a(n-1)=2(n-1)
.............................
a2-a1=2
上面的n个式子相加
a(n+1)-a1=2(1+2+.......n)=n(n+1)
a(n+1)=n(n+1)+16
an=n²-n+16
an/n=n+16/n-1≥2√(n*16/n)-1=7
取等号条件n=16/n,解出n=4
当x=4时,an/n为最小值7

Answer 2

a(2) - a(1) = 2
a(3) - a(2) = 4
......
a(n+1) - a(n) = 2n
这n个式子相加，就有
a(n+1) = 16 + n(n+1)
即a(n) = n(n-1) + 16 = n^2 - n + 16
a(n)/n = n + 16/n -1
用均值不等式，知道它在n = 4的时候取最小值7。

Answer 3

先求出an，用积加法：
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a2-a1)+a1
=2(n-1)+2(n-2)+……+2+16
=n^2-n+16
an/n=n-1+16/n=(n+16/n)-1>=7（利用均值不等式）
n=4时取等号成立。