Question

已知点G是三角形ABC重心,若角A=120度,向量AB×向量AC=-2,则|向量AG|的最小值为?

我知道这道题可以用

已知点G是三角形ABC重心
AG=1/3(AB+AC)
若角A=120度,向量ABX向量AC=-2
向量ABX向量AC=-2=|AB|*|AC|*cosA=-1/2|AB|*|AC|
|AB|*|AC|=4
|AG|^2=1/9[|AB|^2+2|AB|*|AC|*cosA+|AC|^2]
=1/9[|AB|^2+|AC|^2-|AB|*|AC|]
由均值不等式得
|AG|^2=1/9[|AB|^2+|AC|^2-|AB|*|AC|]>=1/9(2|AB|*|AC|-|AB|*|AC|)=4/9
AG=2/3

这种方法解答，但是一开始不是求出AB×AC的值了
为什么不可以开始的时候用
AB乘AC=4
均值不等式2根号下ab≤a+b
求出AB+AC的最小值=中线的两倍
AG=2/3中线
答案我算了不一样啊。
为什么不可以这样做呢= =。

Answer 1

后一种方法的逻辑没太懂……问题应该是出在AB+AC的理解上。你那里用均值不等式算的应该是|AB|+|AC|, 而向量AG=(向量AB+向量AC)/3, 不是模相加，问题可能出在这里。

“AB+AC的最小值=中线的两倍”这句话怎么得出来的？应该是四倍才对。

追问

为什么是4倍呀。

追答

等号成立时|AB|=|AC|, 三角形就确定了，算出来就是4倍。
我倒奇怪你的2倍是怎么得到的呢？设BC中点为D，确实向量AB+向量AC=向量AD的2倍，但能说明什么呢？得到的又不是长度(模)的关系。你是不是把这个式子理解成|AB|+|AC|=2|AD|了？

Answer 2

首先 排除计算错误 本题这样做得到的答案也是对的 这是由结果反推得到的 因为不等式取等号时的条件恰好为|AB|=|AC|=2 但不是每个最值题都可以这样 应该只在最后一步的计算式中 利用不等式取等号 如果前面无法避免 则应判断前后取等号得条件是否一致 不一致一般需要换个思路
其次 “AB+AC的最小值=中线的两倍”估计计算错了 AB=AC=中线的两倍 结果是一样的

Answer 3

简单计算一下，详情如图所示

Answer 4

目目目目目紫菜苔