Question

抽屉原理的问题（较难）请注备解题答案

Answer 1

一.图形分割
例1.在边长为1的正方形内任意放13个点.证明：必定存在4点，使得以这4点为顶点的四边形面积不超过.
证：如图，将正方形分成4个面积是的矩形，13个点必有4点落在同一个矩形中，其面积不超过.
例2.半径为1的圆内任意放7个点，证明：必有2点，它们间的距离不大于1.
证：如图，将圆分成6个相等的扇形，7点中必有2点落在同一个扇形中，易知它们的距离不大于1.
例3.在3×4的长方形中，任意放6个点. 证明：必有2点，它们间的距离不大于 .
证：如图，将长方形分成5块，6点中必有2点落在同一块中，易知它们的距离不大于 .
二.数的问题
例4.任意给出7个不同整数. 证明：必有2个整数，其和或差是10的倍数.
证：按除以10的余数将整数分成10类，将这10类分成如下6组：{0}（表示除以10余0的所有整数）；{1}、{9}；{2}、{8}；{3}，{7}；{4}，{6}；{5}. 7个数中必有2个来自同一组，若它们同类，则差是10的倍数；若不同类，则和是10的倍数.
例5.证明：存在一个这样的正整数，其各位数码是0或1，并且是1993的倍数.
证明：考虑如下1993个数：10，110，1110，…， . 若其中有数是1993的倍数，则证毕；否则它们除以1993的余数只能是1，2，…，1992，必有两数除以1993余数相同，它们的差是1993的倍数，显然此差的各位数码是0或1.
例6.任意写一个数码由1、2、3组成的30位数，从这个30位数中任意截取相邻的3位数字，可组成一个3位数. 证明：按上述方式一定可以得到两个相同的3位数.
证：一共可截取28个3位数，而数码由1、2、3组成的三位数有33=27个，必有两数相同.
例7.任意给定n+1个小于2n的不同正整数，证明：必可从中选出3个数，使其中两个之和等于第三个.
证：设这n+1个正整数是a0<a1<a2<…<an<2n，令bk=ak−a0（k=1，2，…，n），则b1<b2<…<bn<2n，考虑a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn这2n个正整数，它们都小于2n，故必有两数相等，设ai=bj（i≠j，否则ai=bi=ai−a0，不可能），则ai=aj−a0，即a0+ai=aj.
三.染色问题
例8.对3×7棋盘的每个方格染红蓝两色之一. 证明：存在一个由若干方格构成的矩形，其4个角上的方格同色.
证法一：每一列中2格同色，用一条相同颜色的线段连结这2格的中心，得到7条线段，必有4条同色，设为红色. 由于连线方式只有3种（3格中选两格），必有两条红色线段连线方式相同，其所对应的4格构成4角都是红色的矩形.
证法二：第一行至少有4格同色，不妨设前4格是红色，若第二行前4格中有两格红色，则找到4角同是红色的矩形；否则至少有3格是蓝色，不妨设是前3格. 此时第三行的前3个必有两格同色，若是红色，则其与第一行相同列的两个红格组成4角同是红色的矩形；若是蓝色，则其与第二行相同列的两个蓝格组成4角同是蓝色的矩形.
例9.平面上有6个点，其中任何3点都不共线，任意两点间连一条红色线段或蓝色线段，证明：一定存在一个同色三角形（三边颜色相同的三角形）.
证：由某点A出发的5条线段中必有3条同色，不妨设AB1、AB2、AB3是红色，考虑线段B1B2、B1B3、B2B3，若其中有红色线段BiBj，则△ABiBj是红色三角形；若全是蓝色，则△B1B2B3是蓝色三角形.
评注：如果把点看成元素，染红色看成是元素间有关系A，染蓝色看成是元素间没有关系A，那么本题可表述为：给定6个元素，任意2个元素间或者有关系A或者没有关系A，则一定可以选出3个元素，它们两两间有关系A或者两两间没有关系A.
比如把元素改成人，2个元素间的关系改成彼此认识，则可得到如下有趣命题：
世界上任意选6个人，证明：一定可以从中找出3个人，他们两两认识或两两不认识.
四.“连续”问题
例10.某学生用11个星期做完数学复习题，他每天至少做一道题，每星期至多做12道题. 证明：一定存在连续的若干天，他恰好做了21道题. （教程P295/7）
证：设此学生前i天做xi道题（i=1，2，…，77），则x1<x2<…<x77≤12×11=132，令yi=xi+21，则y1<y2<…<y77≤132+21=153，于是x1，x2，…，x77，y1，y2，…，y77这154个数都≤153，其中必有两数相同，设xi=yj，则xi=xj+21，xi−xj=21，即从第j+1天到第i天，他恰好做了21道题.
例11.电视机修理部某职工在3月份的31天里，每天至少修理一台，共修56台，证明：他必然在连续的若干天（包括1天）里，恰好了5台电视机. （精讲P167/3）
证：设他前i天修了xi台（i=1，2，…，31），则x1<x2<…<x31=56，令yi=xi+21，则y1<y2<…<y31≤=56+5=61，于是x1，x2，…，x31，y1，y2，…，y31这62个数都≤61，其中必有两数相同，设xi=yj，则xi=xj+5，xi−xj=5，即从第j+1天到第i天，他恰好修了5台.
五、杂题
例12.有12双筷子，其中红色、白色、黑色筷子各4双（同一双筷子的两只筷子同色），从中取出一些筷子，要求有2双不同颜色的筷子，则至少要取出几只筷子？
解：首先取出10只筷子不能保证，比如8只红色2只白色. 其次取出11只筷子能保证，这是因为11只筷子中必有4只同色，设为红色，已有一双红色筷子，由于红色筷子只有8只，故至少有3只筷子是其它二色，又可找到一双同色筷子.
评注：解此类问题一般先通过“最坏”情况找到不能成立的最大数，然后证明此数+1一定满足要求.
例13.甲班有48个同学，每个同学在班级里都有一些朋友（若甲是乙的朋友，则乙也是甲的朋友）. 证明：至少有两名同学，他们在班级里的朋友人数一样多.
证：每个人在班级里的朋友人数只能是0，1，…，47，但0和47不能同时取到，因此必有两人在班级里的朋友人数相同.
例14.围着一张可转动的圆桌，均匀地放8把椅子，在桌上对着椅子放有8人的名片. 8人入座后，发现谁都没有对着自己的名片. 证明：适当地转动桌子，能使至少两人对上自己的名片.
证：每次桌子转动45°，包括开始的位置一共8次，若在这8次中，没有两人或两人以上对着自己的名片，注意到每人在这8次中都有一次对着自己的名片，因此这8次每次恰好只有1人对着自己的名片，但开始时没有人对着自己的名片，矛盾