Question

一道初三数学题（貌似有点难），求高手来帮我

如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一点，将△BCE沿着CE折叠至△FCE，若CF、CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切，则折痕CE的长为——。
答案是三分之八根号三，那么这样∠CEB为60°，怎么证它呢？
上图

Answer 1

解：因为圆和正方形是轴对称图形，
所以∠DCF=∠BCE,
又△BCE沿着CE折叠至△FCE，
所以∠BCE=∠ECF,
所以∠BCE=∠ECF=∠BCE=∠BCD/3=30°
所以∠CEB为60°
在直角三角形BCE中，由勾股定理，设BE=x,则CE=2x,得，
CE^2=BC^2+BE^2
4x^2=x^2+4^2
解得，CE=(4/3)√3
所以CE=2x=（8/3）√3

Answer 2

要证∠CEB=60°很简单，也就是证∠CBE=30°
解：由折叠的轴对称性可知
∠FCE=∠ECB
又∵CF、CE恰好与⊙O相切
∴CO为∠ECF平分线（切线长定理）
∵O为正方形中心
∴∠OCB=45°，且直线CO经过点A
即∠OCE+∠ECB=3/2∠ECB=45°
得∠ECB=30°
∴CE=4/cos30°=8√3/3

Answer 3

连接OC，并将CF上的切点记为G，CE上的切点记为H，连接OG，OH。因为OG=OH，
∠CGO=∠CHO=90°，CO=CO，故△CGO≌△CHO，所以∠GCO=∠HCO，而
∠GCO+∠HCO=∠ECB，所以有∠HCO=1/2∠ECB。又O是正方形的中心，则∠OCB=45°，
故有∠HCO+∠ECB=3/2∠ECB=∠OCB=45°,所以∠ECB=30°，而∠CEB＋∠ECB=90°，所以∠CEB为60°。