Question

25．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB （1

25．如图，在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），以OA为一边，在第一象限作等边△OAB
（1）求点B的坐标．
（2）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式．
（3）直线y＝ x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，求点C的坐标；
（4）在（3）中，直线AC上方的抛物线上，是否存在一点D，使得△OCD的面积最大？如果存在。求出点D的坐标和面积的最大值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

画出图像
(1) 在平面直角坐标系中，点O是原点，点A的坐标为（4，0），
以OA为一边，在第一象限作等边△OAB，
等边△OAB的边长为4，底边OA上的高BD长2*√3，且在线段OA的垂直平分线上，
OA中点D(2，0)，B(2，2*√3)
(2) 经过O、A、B三点的抛物线，
开口向下，顶点为B(2，2*√3)
设抛物线的解析式：y=-a(x-2)∧2+2*√3（a＞0），
过O(0，0)，得到0=-a(0-2)∧2+2*√3，得到a=1/2*√3，
所求解析式为y=-1/2*√3*(x-2)∧2+2*√3；
(3) 直线y＝ x与（2）中的抛物线在第一象限相交于点C，
设C(m，m)代入抛物线解析式中，
得到m=-1/2*√3*(m-2)∧2+2*√3，解得m=0或4-2/3*√3，
如图知C(4-2/3*√3，4-2/3*√3)；
(4) 由图知存在直线AC上方的抛物线上的点D，使得△OCD的面积最大，
画OC直线的一系列平行线可以看出（OC为底）
设直线y=x+n（n＞0），与抛物线相切与点D，
设D(t，t+n) 代入抛物线解析式中，由关于t的方程：1/2*√3*t*t+(1-2*√3)t+n=0
的△=0，得出n=〔(1-2*√3)∧2〕/(2*√3)
再解方程得出t
得到点D坐标

Answer 2

（1）点B坐标是（2，2√3）
（2）设为顶点式：y=a（x-2）²+2√3
把O（0，0）代入得到：0=4a+2√3，a=-√3/2
所以解析式是y=-√3/2（x-2）²+2√3
（3）把y=x带入到：y=-√3/2（x-2）²+2√3里得到
x=-√3/2（x-2）²+2√3
解得：x1=0，x2=4-2√3/3
所以：点C坐标是（4-2√3/3，4-2√3/3）
（4）存在一点D，使△OCD的面积最大【初中作法}
给你提示吧：
设点D坐标为（m，n）
由D做x轴垂线，C做x轴垂线，把四边形
在利用四边形的面积-三角形面积=三角形+梯形-三角形得到
这里三角形你自己画图看哦，估计你可以做出来了