高分跪求一道偏微分方程（急）

解如下偏微分方程中的大写FAI其中大写FAI为x和t的函数。此题没有指定边界条件。注意等式最右边含有两次的exp()。且有diracdelta函数。跪求详细解题过程，基础... 解如下偏微分方程中的大写FAI

其中大写FAI为x和t的函数。此题没有指定边界条件。注意等式最右边含有两次的exp()。且有dirac delta函数。

跪求详细解题过程，基础差者最好也能看懂。或者提供相似的解题也可作为参考（请提供等式有变不等于0的例子，还有FAI，或x,和t变量的相似解题也可）。

如解题合适，比追加最高感谢分数。很急~
在线等啊~~~ 展开

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3个回答

#热议# 空调使用不当可能引发哪些疾病？

yqlilm
2011-04-29 · TA获得超过3741个赞

知道小有建树答主

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用Fourier变换直接就能得到答案

吐槽一下：Dirac delta函数的出现直接说明了该问题不可能是严格的数学系的题目——应该是那些不严格的理工科自作聪明的题目。这个“函数”本身不是一个函数，但是它对应一个线性泛函，可以作为广义的函数。

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追问

请问能否进一步说明如果傅里叶变换解决呢？

追答

就是把t看成参数 这里应该是把t看成参数，然后把另一个自变量看成自变量，然后关于这个自变量的函数对方程两边作Fourier变换，Dirac函数前面加积分正好就是严格的数学上对Dirac线性泛函的定义，二阶导数的Fourier变换等于原函数的Fourier变换乘以-4π^2朗姆达^2 （如果Fourier变换的定义用的是前面有1/2π的那个就只要乘以-朗姆达^2）所以式子会变成t作为自变量的常微分方程。解正是所求解的Fourier变换，所以最后只要再进行一次逆变换就好了，所有二元偏微分方程一般都是这种简单通用的方法用

图片不知道你能否看得到，这是Fourier变换的表达式，初级的Fourier变换一般是要求被变换的函数是Schwartz空间里的（理工科一般是理解为光滑函数），一般的偏微分方程都是默认求光滑函数解。所以Fourier变换可以用。Fourier变换有一个很好的性质就是导数的变换等于原变换乘以iπ朗姆达【注：有些书也有定义Fourier变换在前面乘以1/2π的，只是差个常数而已没关系，我这个书是Princeton大学用的Fourier Analysis的讲义，所以我觉得还是用这个更好点】
上述方程两边做Fourier变换正好可以化成一个t为自变量的2阶常微分方程，解这个方程（注意x是参数，所以所有积分出来的任意常数项都应该写成g(x)的形式）最后再逆变换回去，然后用初值确定待定的g(x)。

如果还有不明白的可以自己去找关于Fourier分析（初步的就好了，只要考虑Riemann意义微积分、光滑函数、定义域是一元的Fourier变换就OK，不用去考虑到更一般的，更一般的是数学系的要求，解你这种级别的偏微分方程初步的Fourier分析就够用了）

如果觉得仍然很有困难的话就发消息给我我给你我Q号