Question

初三二次函数数学题

如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），连接OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB
如果点P是这条抛物线上的动点，且在X轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；，若没有，请说明理由

Answer 1

△PAB的面积可表示为1/2 *AB *PE(E为过P向AB引的垂线的垂足)，由于AB长度固定，可求出是2√3，所以只需求出PE的最大值即可获得△PAB的最大面积
通过观察图像可得出以下结论，当过P点且相切于抛物线的直线斜率与直线AB的斜率相等时，此时的PE最大，设P的横坐标为Xp,则抛物线的切线的斜率可通过对抛物线方程求导取得（如果楼主没学过导数，请看最后一段的补充说明！），为y=2√3x/3 +2√3，所以过P点的切线斜率为2√3Xp/3 +2√3，令其等于AB的斜率√3/3，可解得Xp=-1/2, 代入到抛物线解析式可求得P点坐标为（-1/2,-√3/4）,直线PE的斜率是AB斜率的负的倒数分之一，可求得为-√3，再将P点坐标代入可得PE的方程为y=-√3x-3√3/4，它与AB的交点E可通过联立AB的解析式得出是（-17/16,5√3/16），所以PE通过联立P、E两点的坐标求得为9/8,所以△PAB最大面积为1/2 * 9/8 * 2√3=9√3/8

Answer 2

B在 哪？？

Answer 3

因为OA=2所以OB=2∠AOB=120°所以根据三角函数得B（1，根号三）又已知P为X下方。所以我们应该先求抛物线方程已知X=0时Y=9所以Y=aX^2+bX带A.B点得Y=三分之根号3X^2+三分之二倍根号3X 设P的横坐标为X 所以PA为根号下(X+2)^2+(三分之根号3X^2+三分之二倍根号3X)^2
PB=根号下（x-1）^2+(三分之根号3X^2+三分之二倍根号3X-根号三)^2
利用海伦公式P=0.5(PA+PB+AB) S=根号下P(P-PA)(P-PB)(P-AB)
是个二元一次函数 通过二元一次函数解

Answer 4

解：设点p的坐标为（x,y）-2<x<0,y<0,又因为A（-2,0），根据题意得B（1,3^1/2）
所以|AB|=2根号3 直线|AB|的函数方程为y=(3^1/2)x/3-2*(3^1/2)/3
由A(-2,0),B(1,3^1/2),O(0,0)得抛物线的方程为
y=（3^1/2*X^2）/3+2*(3^1/2)X/3
则p（x，（3^1/2*X^2）/3+2*(3^1/2)X/3））

则点p到直线AB的距离为|x^2+X-2|/2 当x=-1/2时AB的距离最大，为9/8
所以S△PAB=1/2*2*(9/8)=9/8

Answer 5

解：设 点p的坐标为（x,y）-2<x<0,y<0,
因为A（-2,0），根据题意得B（1,3^1/2）
所以|AB|=2根号3
则直线|AB|的函数方程为y=(3^1/2)x/3-2*(3^1/2)/3
由A(-2,0),B(1,3^1/2),O(0,0)得抛物线的方程为
y=（3^1/2*X^2）/3+2*(3^1/2)X/3
设p（x，（3^1/2*X^2）/3+2*(3^1/2)X/3））

当x=-1/2时AB的距离最大，为9/8
所以S△PAB=1/2*2*(9/8)=9/8