Question

已知等比数列an的首项a1=2,公比q=3,Sn是它的前n项和:求证Sn+1/Sn≤3n+1/n

RT 解答 或者这题应该是2011年江苏省13个市 高三第一次或者第二次模拟的附加题

Answer 1

证：
a1=2 q=3
Sn=2(3^n-1)/(3-1)=3^n-1
Sn+1=2[3^(n+1)-1]/(3-1)=3^(n+1)-1
Sn+1/Sn=[3^(n+1)-1]/(3^n-1)
=[3^(n+1)-3+2]/(3^n-1)
=3+2/(3^n-1)
3+2/(3^n-1)-(3n+1)/n
=2/(3^n-1)-1/n
=(2n-3^n+1)/[n(3^n-1)]
2n+1和3^n均单调递增，令2n+1=3^n，解得n=1
当n>1时，恒有2n+1<3^n
因此2n-3^n+1≤0
3+2/(3^n-1)≤(3n+1)/n
Sn+1/Sn≤(3n+1)/n
不等式成立。

Answer 2

是否求证Sn+1/Sn≤(3n+1)/n ?

解答：

根据题意：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)=2(1-3^n)(1-3)=3^n-1,

∴ Sn+1=3^(n+1）-1，

∴ Sn+1/Sn=[3^(n+1）-1]/(3^n-1)
=(3*3^n-3+2)/(3^n-1)=[3(3^n-1)+2]/(3^n-1)=3+2/(3^n-1);

∴ Sn+1/Sn=3+2/(3^n-1) ......(1)

要证明Sn+1/Sn≤(3n+1)/n ......(2)

即要证明3+2/(3^n-1)≤(3n+1)/n =3+1/n...(3)

(3)式等价于2/(3^n-1)≤1/n <=>3^n-2n-1≥0 (4)

其中n≥1，n属于N

设函数f(x)=3^x-2x-1 , x≥1 ; （5）

求导得：f'(x)=3^xln3-2＞ 3^xlne-2=3^x-2f'(x)＞ 3-2=1＞0
f'(x)＞ 0
f(x)为单调增函数，

∴ 当x≥1时，f(x)≥f（1）=3^1-2*1-1=3-2-1=0

即f(x)=3^x-2x-1 ≥0
当x=n≥1，式 (4)成立，

由式（3）、（2）倒推（等价式），证明

Sn+1/Sn=3+2/(3^n-1) 成立。