Question

高中证明题

证明：若函数y=f（x）在R上的图解关于点A（a，y0）和直线x=b（b>a）皆对称，则
f（x）为周期函数。

Answer 1

由关于点A（a，y0）对称，有f(a+x)+f(a-x)=2y0，即得f(x)=2y0-f(2a-x)；
由关于直线x=b（b>a）对称，有f(b+x)=f(b-x)，即得f(x)=f(2b-x)；
又f(2a-x)=f(2b-(2a-x))
=f(2b-2a+x)
=2y0-f(2a-(2b-2a+x))
=2y0-f(4a-2b-x)
得f(x)=2y0-f(2a-x)
=2y0-[2y0-f(4a-2b-x)]
=f(4a-2b-x)
故f(4a-2b-x)=f(x)=f(2b-x)；
令4a-2b-x=t，得2b-x=t+4b-4a=t+4(b-a)
所以f(t)=f(t+4(b-a))，也即f(x)=f(x+4(b-a))，即证明f(x)为周期函数