极坐标求面积 θ的确定
同济五版P280有道题目:p=3cosθ及p=1+cosθ,求公共部分的面积,我按照式子图画了,为什么答案给的是积分的范围从0~π/3和π/3~π/2这两个式子的和呢?想...
同济五版P280有道题目:p=3cosθ及p=1+cosθ,求公共部分的面积,我按照式子图画了,为什么答案给的是积分的范围从0~π/3和π/3~π/2这两个式子的和呢?想不通啊!哪位大大知道为什么啊?还有最好能讲讲极坐标下θ是怎么确定的...
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联立解得:3cosθ=1+cosθ , 解得:cosθ=0.5; θ=±π/3, 有两个交点是(1.5,±π/3) ,
此外二者都过极点 ,此时 坐标为(0,π/2)=(0,π);
p=3cosθ是圆及p=1+cosθ是心脏线。如图:由对称性,把上半部分用射线θ=π/3分成两块,再乘以2即可;
公共部分的面积=2【∫(从0~π/3)0.5(1+cosθ)^2dθ+∫(从π/3~π/2)0.5(3cosθ)^2dθ】
=【∫(从0~π/3)(1+2cosθ+cos^2θ)dθ+∫(从π/3~π/2)(9cos^2θ)dθ】
=1.5θ+2sinθ+0.25sin2θ】|(从0~π/3)+【4.5θ+2.25sin2θ】|((从π/3~π/2)
=1.25π
追问
此外二者都过极点 ,此时 坐标为(0,π/2)=(0,π)?这个是什么意思?我就是搞不懂π/2是什么意思啊...
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2011-04-30
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(1)解由方程
p=3cosθ
p=1+cosθ
得方程
θ=π/3
θ=-(π/3)
由对称性知(图自己画一下)
S=2[(∫上π/3∫0下)1/2(1+ cosθ)^2dθ+(∫上π/2∫下π/3 )1/2(3 cosθ)^2 dθ]
=(∫上π/3∫0下)[1+2cosθ+(1+ cos2θ)/2]dθ+9(∫上π/2∫下π/3)[(1+ cos2θ)/2]dθ
=(5/4)π
p=3cosθ
p=1+cosθ
得方程
θ=π/3
θ=-(π/3)
由对称性知(图自己画一下)
S=2[(∫上π/3∫0下)1/2(1+ cosθ)^2dθ+(∫上π/2∫下π/3 )1/2(3 cosθ)^2 dθ]
=(∫上π/3∫0下)[1+2cosθ+(1+ cos2θ)/2]dθ+9(∫上π/2∫下π/3)[(1+ cos2θ)/2]dθ
=(5/4)π
追问
我知道答案是这样的,为什么是π/2?还有π/3哪里来的?
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