Question

极坐标求面积 θ的确定

同济五版P280有道题目：p=3cosθ及p=1+cosθ，求公共部分的面积，我按照式子图画了，为什么答案给的是积分的范围从0~π/3和π/3~π/2这两个式子的和呢？想不通啊！哪位大大知道为什么啊？还有最好能讲讲极坐标下θ是怎么确定的...

Answer 1

联立解得：3cosθ=1+cosθ ， 解得：cosθ=0.5； θ=±π/3,   有两个交点是（1.5，±π/3) , 

 此外二者都过极点 ，此时 坐标为（0，π/2)=(0,π）；

 p=3cosθ是圆及p=1+cosθ是心脏线。如图：由对称性，把上半部分用射线θ=π/3分成两块，再乘以2即可；

公共部分的面积=2【∫（从0~π/3）0.5(1+cosθ）^2dθ+∫（从π/3~π/2）0.5(3cosθ）^2dθ】

  =【∫（从0~π/3）(1+2cosθ+cos^2θ）dθ+∫（从π/3~π/2）(9cos^2θ）dθ】

  =1.5θ+2sinθ+0.25sin2θ】|（从0~π/3）+【4.5θ+2.25sin2θ】|(（从π/3~π/2）

  =1.25π

追问

此外二者都过极点 ，此时 坐标为（0，π/2)=(0,π）?这个是什么意思？我就是搞不懂π/2是什么意思啊...

Answer 2

(1)解由方程
p=3cosθ
p=1+cosθ
得方程
θ=π/3
θ=-(π/3)
由对称性知(图自己画一下）
S=2[(∫上π/3∫0下)1/2（1+ cosθ）^2dθ+(∫上π/2∫下π/3 )1/2(3 cosθ)^2 dθ]
=(∫上π/3∫0下)[1+2cosθ+（1+ cos2θ)/2]dθ+9(∫上π/2∫下π/3)[(1+ cos2θ)/2]dθ
=(5/4)π

追问

我知道答案是这样的，为什么是π/2?还有π/3哪里来的？