Question

椭圆方程为3X平方+4平方=12，过右焦点F2且斜率为K的直线L与椭圆交于MN，

在X轴上是否存在P（m，0）使PM、PN为邻边的平行四边形是菱形，若存在请求出m的取值范围。
3X平方+4y平方=12

Answer 1

假设存在， 实际就是PM=PN， P在MN的垂直平分线上。 x^2/4+y^2/3=1, c=1 ,F2(1,0)
设 M(x1,y1),N(x2,y2) ，l:y=k(x-1) , 联立得： 3x^2+4k^2(x-1)^2=12
（3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0 ,x1+x2=8k^2/(3+4k^2), x0=4k^2/(3+4k^2),y0=-3k/(3+4k^2);
所以y0/(x0-m)=-1/k ,m=ky0+x0=k^2/(4k^2+3),k≠0； k^2=3m/(1-4m)>0; 0<m<0.25

Answer 2

你给的方程不完整啊

追问

3X平方+4y平方=12

追答

1、当斜率不存在时，可知直线L的方程式：X=1
且可得出M(1,3/2),N(1，-3/2)
排除形成正方形的可能即点（1+3/2，0）,和点（-1/2,0）
即：（-∞，-1/2）U（-1/2，1）U（1，1+3/2）U（1+3/2，+∞）；
2、当斜率存在且为0时，不存在P点；
3、当斜率存在且不为0时，条件PM=PN即P在MN的中垂线上。
设 M(x1,y1),N(x2,y2)
联立X^2/4+Y^2/3=1与y=k(x-1) 可得：
（3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0
即 x1+x2=8k^2/(3+4k^2),
所以x中=4k^2/(3+4k^2),y中=-3k/(3+4k^2)
可得中垂线方程为：y中=-1/k(x中-m)
代人可得：m=k^2/(4k^2+3),且k≠0
k^2=3m/(1-4m)>0
0<m<0.25