Question

线性代数、排列的对换一章我搞不懂，麻烦指点下！

最近看线性代数，行列的对换这一节卡住了，看不走！急！谁能帮帮忙，我无法理解一句话是什么意思，导致后面的“行列式与转置行列式的行列式相等”“代数余子式”等无法理解。
这句话是么回事：就是证明行列式∑（—1）^t·a1ap1·a2ap2·…·anapn表示外，还可以表示为∑（—1）^t·ap1a1·ap2a2·…·apnan
教科书上证明过程如下：
对于行列式的任何一项
（—1）^t·a1p1·…·aipi·…·ajpj·…·anpn，
其中1…i…j…n为自然排列，t为排列p1…pi…pj…pn的逆序数，对换元素aipi与ajpj成
（—1）^t·a1p1·…·ajpj·…·aipi·…·anpn，
这时，这一项的值不变，而行标排列与列标排列同时作了一次相应的对换，设新的航标排列1…j…i…n的逆序数为r，则r为奇数（为什么是奇数，不能是偶数？）；设新的列标排列p1…pj…pi…pn的逆序数为t1，则
（—1）^t1=—（—1）^t，故（—1）^t=（—1）^r+t1，（这是什么意思？我完全搞不懂）
后面的我就不写了，电脑不好打，我就是上面这两句话看不懂导致后面搞不懂，麻烦哪位老师给我指点下，谢谢了先！

Answer 1

首先要知道一个结论: 对换两个数的位置改变排列的奇偶性
(证明方法: 先考虑相邻两个数的对换, 再推广到一般情况)

其次, a1p1·…·aipi·…·ajpj·…·anpn 这一项的符号其实是由两个数的和决定的.
我们只考虑 (-1) 的幂.
一个是 排列123...n的逆序数, 一个是 排列 p1p2...pn 的逆序数
开始时 t(123...n) + t(p1p2...pn) = 0 + t = t (所以定义的时候要求行标按自然顺序)
当交换 元素aipi与ajpj 时, t(123...n) 与 t(p1p2...pn) 的奇偶性同时发生改变, 但它们的和的奇偶性不变!!! 这就是关键所在.

你琢磨一下看吧.
不明白就追问

追问

“交换 元素aipi与ajpj 时, t(123...n) 与 t(p1p2...pn) 的奇偶性同时发生改变, 但它们的和的奇偶性不变!”
我知道书上就是想证明这个定理，上面过程是在证明
你给我答案给我了提示“ t(123...n) + t(p1p2...pn) = 0 + t = t 和 t(123...n) 与 t(p1p2...pn)”，我理解了，第一个问题搞懂了
可是我还没搞懂“（—1）^t1=—（—1）^t式子的意思？”
先谢谢了！麻烦你再帮下忙。

追答

这个说明 交换一次后的情况
t 是 p1…pi…pj…pn 的逆序数
t1 是 p1…pj…pi…pn 的逆序数
它们奇偶性相反
所以有 “（—1）^t1=—（—1）^t

Answer 2

你所提的两个问题最终都归结为一个结果：对换改变排列的奇偶性（书上没有这个说明吗？）
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刚才翻了翻同济版《线性代数》，书上有这个定理呢

追问

刚我理解了第一个问题，谢谢你给我提示，是我想得太复杂了，
第二个问题我还是没搞懂“（—1）^t1=—（—1）^t式子的意思？”

追答

做了一次对换，排列的奇偶性不是变了嘛，t1与t的奇偶性不是相反了嘛

追问

懂了！！！我好傻，搞懂了！谢谢

看来我逆序数掌握还不够熟练，我始终认为对换了不只奇数次，也有可能偶数次，但表达式的意思就是对换了奇数次，对排列的下标不够敏感

谢谢了哈

Answer 3

写起来太麻烦

追问

你试着不用数学表达式，中文简要的说下我问的那两个问题，我看能不能理解。。。你看行么？麻烦了，我也着急看不懂