Question

讨论函数f(x)=x+(a/x) （a≠0）的单调性

Answer 1

f‘(x)=1+a*(x^-1)
=1- a/x²

(1)
若a<0 则-a/x²>0 1- a/x²=f'(x)>1
此时x>0，x<0 f(x)必为增函数

(2)
若a>0 则- a/x²<0 ，1-a/x² =f'(x)<1
①若0<f’(x)<1 f(x)为增函数 即
0<1-a/x²<1
0<x²-a<x²
-x²<-a<0
0<a<x²
x>√a 或x<-√a

②若f'(x)<0 f(x)为减函数 即
1- a/x²<0
a/x²>1
a>x²
且x作分母，不为零 故
0<x<√a 或 -√a<x<0

综上，
若a<0时，x>0或x<0 f(x)单调递增
若a>0时，x>√a 或x<-√a f(x)单调递增；0<x<√a 或 -√a<x<0 ，f(x)单调递减

Answer 2

讨论函数f(x)=x+(a/x) （a≠0）的单调性
解：定义域：(-∞，0)∪(0，+∞），定义域关于原点对称。
f(-x)=-x-a/x=-(x+a/x)=-f(x)，故是奇函数。
❶ a>0:
当x>0时，f(x)=x+(a/x)≥2√a，当且仅仅当x=a/x，即x²=a，x=√a时f(x)获得最小值2√a.
因此，f(x)在(0，√a)内单调减；在（√a，+∞）内单调增。
因为f(x)是奇函数，其图像关于原点对称，故在(-∞，-√a)单调增；在(-√a，0)内单调减。
❷ a<0:
这时f(x)=x+a/x=x-│a│/x，
f′(x)=1+│a│/x²>0，对任何x都成立，故当a<0时，f(x)在其全部定义域(-∞，0)∪(0，+∞）
内都单调增，x=0是其无穷型间断点。X→0⁻limf(x)=+∞，X→0⁺limf(x)=-∞；X→-∞limf(x)=-∞；
X→+∞limf(x)=+∞.

Answer 3

函数f(x)=x+(a/x)，其中a<0，

（1）设x1，x2∈(0,正无穷大)，且x1>x2>0，a<0，
则f(x1)-f(x2)=【x1+(a/x1)】-【x2+(a/x2)】
=(x1-x2)-a*(x1-x2)/(x1*x2)
由于x1>x2>0，a<0，则有x1-x2>0,x1*x2>0,-a>0,
则有f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在(0,正无穷大)区间是单调递增函数。

（2）设x1，x2∈(负无穷大，0)，且0>x1>x2，a<0，
则f(x1)-f(x2)=【x1+(a/x1)】-【x2+(a/x2)】
=(x1-x2)-a*(x1-x2)/(x1*x2)
由于0>x1>x2，a<0，则有x1-x2>0,x1*x2>0,-a>0,
则有f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在(负无穷大，0)区间是单调递增函数。

结论：函数f(x)在(0,正无穷大)区间是单调递增函数。
函数f(x)在(负无穷大，0)区间是单调递增函数。

a > 0 ....

Answer 4

求导f'(x)=1-(a/x2)
x小于 -根号a 和x 大于 根号a 时 单调递减
x大于0小于根号a 和 小于0大于负根号a时 单调递增

Answer 5

你大概还没学过导数吧 那就记住这个结论吧：该函数的图象在x>0的区间内先减后增 x=根号a时取得最小值 图像全部位于第一象限内 在x<0的区间内先增后减x=根号a的相反数时取得最大值 图像全部位于第三象限内
如果你有学过导数 求导得f'(x)=1-(a/x2) （ x2是x的平方）
解f'(x)》=0得
x小于 根号a的相反数 或x 大于 根号a 即原函数在此范围内单调递增 解f'(x)<0得：x大于0小于根号a 或x 小于0大于负根号a 即原函数在此范围内单调递减 怎么样 是不是跟上面的结论一样呢 这个函数很有用的 它的图像应该印在脑子里 学习愉快 拜拜

Answer 6

对a进行分类讨论，或者用导数法