Question

数学题，已知：如图AB=AC （1）若点D在CB的延长线上， 求证AD²－AB²=BD·CD

（2）右点D在线段CB上，结论如何？试证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：从A做BC垂线，交BC于E
因为AB=AC，△ABC是等腰三角形，所以BE=CE
在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²
在RT△ABE中，AB²=AE²+BE²
所以AD²-AB²=AE²+DE²-（AE²+BE²）=DE²-BE²=（DE-BE）（DE+BE）
因为BE=CE，所以AD²-AB²=（DE-BE）（DE+CE）=BD×CD
（2）当D在BC上时，若D为BC中点，则AB²-AD²=BD²
因为BD=CD，所以AB²-AD²=BD×CD
当D不是AB中点（以D靠近B点为例，靠近C点时结论相同），做AE垂直BC于E
在RT△ABE中，AB²=AE²+BE²，
在RT△ADE中，AD²=AE²+DE²
所以AB²-AD²=AE²+BE²-（AE²+DE²）=BE²-DE²=（BE-DE）（BE+DE）
因为BE=CE，所以AB²-AD²=（BE-DE）（CE+DE）=BD×CD
综上，AB²-AD²=BD×CD

Answer 2

证明：作AE垂直于BC

∵AB=AC
∴BE=CE

在三角形ABE中有：AB^2=BE^2+AE^2
在三角形ADE中有：AD^2=AE^2+DE^2

又DE=CE+CD

∴AD^2=(AB^2-BE^2)+(CE+CD)^2=AB^2-BE^2+CE^2+2CE*CD+CD^2

=AB^2+2CE*CD+CD^2,(∵BE=CE）
=AB^2+CD(2CE+CD)
=AB^2+CD(BC+CD),(∵2CE=BC）
=AB^2+CD*BD

∴AD^2-AB^2=CD*BD

Answer 3

AD AB 确定一个平面 AB AC 确定一个平面 AD AC 确定一个平面 共面 共线