Question

y1=3+x^2、y2=3+x^2+exp(-x)是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3=x

设y1=3+x^2、y2=3+x^2+exp(-x)是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为y3=x，则该微分方程的通解为

Answer 1

二阶齐次线性微分方程a1(x)d^2y/dx^2+a2(x)dy/dx+a3(x)y=0 (1)
二阶齐次非线性微分方程a1(x)d^2y/dx^2+a2(x)dy/dx+a3(x)y=f(x) (2)
(2)的通解的表达形式 y=c1y0(x)+c2y1(x)+cy2(x)
其中y0(x)是（2）的一个特解，y1(x)和y2(x)是（1）的基本解组
现在我们已经知道二阶齐次非线性微分方程的一个特解，即y1=3+x^2或y2=3+x^2+exp(-x)，两者任选其一即可，就取y0(x)=y1=3+x^2.我们还知道二阶齐次线性微分方程的一个解y1(x)=y3=x,只需要再求出二阶齐次线性微分方程另一个与y3=x线性无关的解即能求出答案
因为y2-y1=(3+x^2+exp(-x))-(3+x^2)=exp(-x)是二阶齐次线性微分方程的解，且exp(-x)与x线性无关，所以exp(-x)就是我们要找的二阶齐次线性微分方程的另一个解
所以微分方程的通解为y=1y0(x)+c2y1(x)+cy3(x)
其中y0(x)=3+x^2,y1(x)=x,y2(x)=exp(-x),c1,c2,c3是任意常数。
如果有不清楚，欢迎继续追问。