已知非负实数x,y,z满足x+y+z=3 (2),求证x^2/(1+x^4)+y^2/(1+y^4)+z^2/(1+z^4)≤1/(1+x)+1/(1+y)+1/(1+z)
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【1】
∵对任意非负实数a,恒有a^4+1≥2a ².等号仅当a=1时取得。
∴恒有0≤2a ²≤1+a^4.
∴0≤a ²/[(a^4)+1] ≤1/2.
取a为非负实数x,y,z时，就有：
X ²/(1+x^4) ≤1/2.
y ²/(1+y^4) ≤1/2.
z ²/(1+z^4) ≤1/2.
累加可得：
X ²/(1+x^4)+y ²/(1+y^4)+z ²/(1+z^4) ≤3/2.
等号仅当x=y=z=1时取得。
【2】由题设可知，x+y+z=3.
∴由“柯西不等式”可知：
6[1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]
=[(x+1)+(y+1)+(z+1)] ×[1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)] ≥(1+1+1) ²=9.
∴1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1) ≥3/2.
等号仅当x=y=z=1时取得。
【3】综合上面两条，可知，原不等式成立。
∵对任意非负实数a,恒有a^4+1≥2a ².等号仅当a=1时取得。
∴恒有0≤2a ²≤1+a^4.
∴0≤a ²/[(a^4)+1] ≤1/2.
取a为非负实数x,y,z时，就有：
X ²/(1+x^4) ≤1/2.
y ²/(1+y^4) ≤1/2.
z ²/(1+z^4) ≤1/2.
累加可得：
X ²/(1+x^4)+y ²/(1+y^4)+z ²/(1+z^4) ≤3/2.
等号仅当x=y=z=1时取得。
【2】由题设可知，x+y+z=3.
∴由“柯西不等式”可知：
6[1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)]
=[(x+1)+(y+1)+(z+1)] ×[1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1)] ≥(1+1+1) ²=9.
∴1/(x+1)+1/(y+1)+1/(z+1) ≥3/2.
等号仅当x=y=z=1时取得。
【3】综合上面两条，可知，原不等式成立。
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