Question

初三数学题：函数几何类

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边在x轴和y轴上，OA=8√2cm，OC=8cm，现在有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒√2cm，的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动，谁运动时间为t秒。
问：当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线y=1/4x²+bx+c经过P、P两点，过线段BP上一动点m做y轴平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比。

Answer 1

解：（1）∵CQ=t，OP= t，CO=8，
∴OQ=8-t
∴S△OPQ= 1/2*(8-t)*√2*t
=-√2/2*t^2+4√2*t（0＜t＜8）；
（2）∵S四边形OPBQ=S矩形ABCD-S△PAB-S△CBQ
=8*√2-1/2*8√2*t-1/2*8*（8√2-√2*t)
=32√2
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，△QPB必须是一个直角三角形，
依题意只能是∠QPB=90°，
又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴ (8-t)/(8√2-√2*t)=√2*t/8，
解得：t=4，
经检验：t=4是方程的解且符合题意；（从边长关系和速度考虑）
此时P（ 4√2，0）；
∵B（ 8√2，8）且抛物线y=x^2/4+bx+c 经过B、P两点，
∴抛物线是y=x^2/4-2√2*x+8 ，直线BP是：y=√2*x-8
设M（m，√2*m-8 ）、N（m，m^2/4-2√2*m+8 ）
∵M在BP上运动，
∴4√2 <=m<=8√2
y1=x^2/4-2√2*x+8 与 y2=√2*x-8交于P、B两点且抛物线的顶点是P；

当4√2 <=m<=8√2时，y1>y2

∴|MN|=|y1-y2|= -(m-6√2)^2/4+2，

∴当 m=6√2时，MN有最大值是2；
∴设MN与BQ交于H点则 M(6√2，4) ,H(6√2,7)；
∴S△BHM= 1/2*3*2√2=3√2
∴S△BHM：S五边形QOPMH= 3√2:(32√2-3√2)=3：29
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．

Answer 2

详情见：http://czsx.cooco.net.cn/testdetail/26978/
解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t

∴S△OPQ＝（0＜t＜8）

(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝32 √2

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32√2

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°

又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP

∴解得：t＝4

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）

此时P（4√2，0）

∵B（8√2，8）且抛物线经过B、P两点，

∴抛物线是，直线BP是：

设M（m, √2m-8）、N(m，1/4m^2-2√2m-8)

∵M在BP上运动 ∴

∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P

∴|MN|＝-1/4（m-6√2）^2+2 ∴当时，MN有最大值是2

∴设MN与BQ交于H 点则M（6√2，4）N（6√2，7）、

∴S△BHM＝＝3√2

∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝＝3:29

∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．

Answer 3

解：(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t

∴S△OPQ＝（0＜t＜8）

(2) ∵S四边形OPBQ＝S矩形ABCD－S△PAB－S△CBQ＝32 √2

∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于32√2

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°

又∵BQ与AO不平行 ∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ

∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP

∴解得：t＝4

经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）

此时P（4√2，0）

∵B（8√2，8）且抛物线经过B、P两点，

∴抛物线是，直线BP是：

设M（m, √2m-8）、N(m，1/4m^2-2√2m-8)

∵M在BP上运动 ∴

∵与交于P、B两点且抛物线的顶点是P

∴|MN|＝-1/4（m-6√2）^2+2 ∴当时，MN有最大值是2

∴设MN与BQ交于H 点则M（6√2，4）N（6√2，7）、

∴S△BHM＝＝3√2

∴S△BHM ：S五边形QOPMH＝＝3:29

∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．