Question

数列{F(n)}的递推公式为：F(n+1)F(n-1)=F(n)^2+1,前两项为：F(1)=1,F(2)=2.求通项公式.

要详细步骤！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！

Answer 1

解：Fn+1Fn-1=Fn^2+1
Fn+2Fn=Fn+1^2+1两式相减得：
Fn+2Fn-Fn+1Fn-1=Fn+1^2-Fn^2
移项得：Fn+2Fn+Fn^2=Fn+1Fn-1+Fn+1^2
即Fn(Fn+2+Fn)=Fn+1(Fn+1+Fn-1)
则(Fn+2+Fn)/Fn+1=(Fn+1+Fn-1)/Fn
即数列(Fn+2+Fn)/Fn+1为常数列
可得(Fn+2+Fn)/Fn+1=(Fn+1+Fn-1)/Fn=……=(F3+F1)/F2
由F3F1=F2^2+1得F3=5
则(Fn+1+Fn-1)/Fn=(F3+F1)/F2=3
即Fn+1+Fn-1=3Fn
也即Fn+1=3Fn-Fn-1
想必能提出这类问题的同学数学功底应该不差，那么，到这里应该知道这是二次线性递推关系式吧。那么
由这个二次线性递推关系的特征方程为：x^2=3x-1
高这个方程的两个根为x1,x2
则有x1+x2=3,x1x2=1
由此可得Fn+1=(x1+x2)Fn-x1x2Fn-1
得(Fn+1-x1Fn)=x2(Fn-x1Fn-1)
即数列Fn+1-x1Fn为首项为F2-x1Fn-1，公比为x2的等比数列
即Fn-x1Fn-1=(F2-x1F1)(x2)^n-1 (1)
又由Fn+1=(x1+x2)Fn-x1x2Fn-1得：
(Fn+1-x2Fn)=x1(Fn-x1Fn-1)
即数列Fn+1-x2Fn为首项为F2-x2Fn-1，公比为x1的等比数列
即Fn-x2Fn-1=(F2-x2F1)(x1)^n-1 （2）
由(1)*x2-(2)*x1得
x2Fn-x1Fn=(F2-x1F1)(x2)^2-(F2-x2F1)(x1)^2
到这里了，你再只要把方程的两根x1,x2求出来代入即可。
手打得好酸，楼主满意就加点分哈，嘿嘿。

Answer 2

F(n) = {[(1+√5)/2]^(2n-1)-[(1-√5)/2]^(2n-1)}/√5
具体推导过程见斐波那契数列通项公式推导思想