Question

在RT三角形ABC中、角C=90°，点O在AB上、以O为圆心、OA的长为半径的圆与AC、AB分别交于点D,E且角CBD=角A

判断直线BD与圆O的位置关系，并证明

若AD:AO=5：3 BC=2,求BD的长

Answer 1

如图，连接OD，因OA=OD，则角3=角4；因角CBD=角A，即角1=角3，在直角三角形ACB中，角1+角2+角3=90°，即2倍角3+角2=90°。因角3=角4，所以角3+角4+角2=90°，在三角形ABD中，知角ODB=90°，及OD垂直于BD，所以直线BD与圆O相切。

连接DE，则角ADE=90°，所以直角三角形ADE与直角三角形BCD相似，所以AD：BC=AE：BD，即BD=（AE：AD）*BC；AE=2AO，AE：AD=6:5，所以BD=2.4。

Answer 2

连接OD、DE 有AD⊥DE DE‖BC
且有角OAD=ODA
已知角OAD=CBD
则有OAD=ODA=CBD=EDB
而角ODE=OED且 OAD+OED=90度
因此有ODE+EDB=90度
OD垂直BD BD为圆O的切线，切点为D

2、AD:OA=5:3有AD:AE=5:6
cosA=5/6
A= DBC cosA=CB/DB DB=CB/cosA=2/（5/6）=12/5