Question

【高考】已知函数f(x)=axlnx，若m>0,n>0,a>0证明f(m)+f(n)>=f(m+n)-a(m+n)ln2

Answer 1

即证：a(mlnm+nlnn)+a(m+n)ln2≥a(m+n)ln(m+n)

化简：mlnm+nlnn+(m+n)ln2≥(m+n)ln(m+n)

即：m[lnm+ln2-ln(m+n)]+n[lnn+ln2-ln(m+n)]≥0

即:mln[2m/(m+n)]+nln[2n/(m+n)]≥0

即：ln[2/(1+n/m)]+(n/m)ln[2/(1+m/n)]≥0

令x=n/m,即证函数：g(x)=ln[2/(1+x)]+xln[2x/(1+x)]≥0

求导可得：g′(x)=-1/(1+x)+ln[2x/(1+x)]+x[1/x-1/(1+x)]

=ln[2x/(1+x)]=0

解得：x=1。

当x≥1时g′(x)≥0，g(x)单调递增；

当x≥1时g′(x)≤0，g(x)单调递减。

所以g(x)最小值是g(1)=0.

所以f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)

Answer 2

解法如下：
a(mlnm+nlnn)+a(m+n)ln2≥a(m+n)ln(m+n)

化简：mlnm+nlnn+(m+n)ln2≥(m+n)ln(m+n)

ln[2/(1+n/m)]+(n/m)ln[2/(1+m/n)]≥0

令x=n/m,即证函数：g(x)=ln[2/(1+x)]+xln[2x/(1+x)]≥0

求导可得：g′(x)=-1/(1+x)+ln[2x/(1+x)]+x[1/x-1/(1+x)]

=ln[2x/(1+x)]=0

解得：x=1。

当x≥1时g′(x)≥0，g(x)单调递增；

当x≥1时g′(x)≤0，g(x)单调递减。

所以g(x)最小值是g(1)=0.

所以f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)

Answer 3

即证：a(mlnm+nlnn)+a(m+n)ln2≥a(m+n)ln(m+n)

化简：mlnm+nlnn+(m+n)ln2≥(m+n)ln(m+n)

即：m[lnm+ln2-ln(m+n)]+n[lnn+ln2-ln(m+n)]≥0

即:mln[2m/(m+n)]+nln[2n/(m+n)]≥0

即：ln[2/(1+n/m)]+(n/m)ln[2/(1+m/n)]≥0

令x=n/m,即证函数：g(x)=ln[2/(1+x)]+xln[2x/(1+x)]≥0

求导可得：g′(x)=-1/(1+x)+ln[2x/(1+x)]+x[1/x-1/(1+x)]

=ln[2x/(1+x)]=0

解得：x=1。

当x≥1时g′(x)≥0，g(x)单调递增；

当x≥1时g′(x)≤0，g(x)单调递减。

所以g(x)最小值是g(1)=0.

所以f(m)+f(n)+a(m+n)ln2≥f(m+n)