Question

函数问题

1.已知函数f(x)满足:f(1)=1/4,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) (x,y∈R),则f(2010)=_____

Answer 1

由题意得，任意数带进去都满足原式。此类题目要先代入几组数找出规律
4f(1)f(0)=f(1)+f(1）即f(0)=2f(1)=1/2
找他的一般规律，设y=1
则4f(x)f(1)=f(x+1)+f(x-1）
即f（x）=f(x+1)+f(x-1）
由已知的f(1)=1/4,f(0)=1/2算出f（1）=f(1+1)+f(0）
即f（1）=f（2）+f（0）
即f（2）=f（1）-f（0）=-1/4
由以上原理可推知当x=0,1,2，3,4,5,6,7,8……时
f（x)=1/2, 1/4，-1/4， -1/2, -1/4, 1/4, 1/2, 1/4, -1/4
寻其中规律为分母以2,4,4为一周期循环，正负号除x=0，1外以-，-，-，+，+，+为一周期循环
这样可推知f（2010）=1/2

Answer 2

-1004-1 /4

Answer 3

根据题意可求得f(0)=1/2（令x=1,y=0代入）
f(2)=4f(1)*f(1)-f(0)=f(1)-f(0)=-1/4
f(3)=4*f(2)*f(1)-f(1)=f(2)-f(1)=-1/2
f(4)=4*f(3)*f(1)-f(2)=f(3)-f(2)=-1/4
f(5)=1/4 f(6)=1/2 f(7)=1/4 f(8)=-1/4
f(9)=-1/2 f(10)=-1/4 f(11)=1/4 f(12)=1/2
f(13)=1/4 f(14)=-1/4 f(15)=-1/2 f(16)=-1/4 f(17)=1/4
归纳得出f(6n)=1/2 f(6n+1)=1/4 f(6n+2)=-1/4 f(6n+3)=-1/2 f(6n+4)=-1/4 f(6n+5)=1/4
f(2010)=f(4)=-1/4