Question

如果实数m,n,x,y满足m^2+n^2=a,x^2+y^2=b,其中a,b为常数，那么mx+ny的最大值？？？

Answer 1

m^2+n^2=a,x^2+y^2=b
=>m²+x²+n²+y²=a+b,a≥0,b≥0
∵m²+x²≥2xy,n²+y²≥2ny
∴2mx+2ny≤a+b
mx+ny≤(a+b)/2
即mx+ny的最大值(a+b)/2

Answer 2

由柯西不等式有
(m^2+n^2)(x^2+y^2)≥(mx+ny)^2
所以ab≥(mx+ny)^2
那么-√(ab)≤mx+ny≤√(ab)
即mx+ny的最大值是√(ab)

Answer 3

mx+ny=-[(m-x)^2+(n-y)^2-m^2-n^2-x^2-y^2]/2
=(a+b)/2-[(m-x)^2+(n-y)^2]
故当m=x,n=y时，
mx+ny最大，为（a+b)/2
楼上两位高人，但还是在下的最简单，哈哈