Question

一道有关相似三角形的初二数学题

若△ABC为正三角形,延长BC至E,延长CB至D,使∠DAE=120°,试说明BC²=BD·CE

Answer 1

∵△ABC为正三角形
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60，AB=BC=AC
∴∠ABD=∠ACE=120
∵∠DAE=120°
∴∠DAB+∠CAE=120-60=60
而∠E+CAE=∠ACB=60
∴∠E=∠BAD
∴△ABD∽△ECA
∴AB:EC=BD:AC
∴AB*AC=EC*BD
即BC²=EC*BD

Answer 2

∵在△DAE和△ACE中
∠ACE=∠EAD,∠E=∠E，
∴△DAE∽△ACE
∴CE/AE=AC/AD①
同理，△DAE∽△DBA,
DB/AD=AB/AE②
①×②得CE/AE×DB/AD=AC/AD×AB/AE
整理得CE×DB=AC×AB=BC²（AC=AB=BC）
即BC²=BD·CE

Answer 3

证明：因为∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠CAE=∠DAB+∠60°+∠CAE=120°，所以
∠DAB+∠CAE=60°，有因为∠BDA+∠DAB=∠ABC=60°，∴∠BDA=∠CAE，同理
∠DAB=∠CEA
∵∠DBA=ECA=∠120°
∴△DBA∽△CEA
∴AB：CE=DB：AC
∴AB*AC=CE*DB
∵△ABC为正三角形
∴AB=BC=AC
∴BC²=BD·CE

Answer 4

∠DAE=120°=角DAB+角BAC+角CAE
角BAC=60°
所以角DAB+角CAE=60°
角DAB+角ADB=角ABC=620°
所以角ADB=角CAE
同理角AEC=角DAB
△ADB∽△EAC
BD/AC=AB/CE
BD*CE=AC*AB=BC²
命题得证

Answer 5

∠ACE=∠DAE=120°，那么∠CAE=∠D，同理∠DAB=∠E，所以△ADB∽△ECA，
于是CE/AB=AC/BD，而AB=AC=BC，所以：BC²=BD·CE

Answer 6

因为∠ACE=120°所以∠AEC+∠CAE=60°
又因∠DCE=120°，且∠BAC=60°,所以∠DAB+∠CAE=60°
所以∠D=∠EAC,∠DBA=∠ACE=120°,所以三角形DBA相似于三角形ACE
所以DB/AB=AC/CE,又因AB=AC=BC,
所以DB/BC=BC/CE,所以BC²=BD·CE。