Question

已知函数f(x)=x^2+a/x在区间[2,+∞)上单调递增,求x的取值范围

卷子上是这样写的,我觉得应该是求a的取值范围?

Answer 1

嗯，的确是求a的取值范围！

如图所示：

Answer 2

应该是求a的取值范围
方法一：定义法
∵f(x)=x²+a/x在区间[2,+∞)上单调递增
∴任取x1≥x2≥2, 有f(x1)≥f(x2)
即x1²+a/x1≥x2²+a/x2
x1²-x2²+a(1/x1-1/x2)≥0
(x1+x2)(x1-x2)+a(x2-x1)/(x1x2)≥0
(x1-x2)[x1+x2-a/(x1x2)]≥0
∵x1≥x2
∴x1-x2≥0
∴x1+x2-a/(x1x2)≥0
x1+x2≥a/(x1x2)
a≤x1x2(x1+x2)
此不等式要对所有x≥2成立，只需当x＝2时成立即可
即a≤2*2*(2+2)=16

方法二：导数法
∵f(x)=x²+a/x在区间[2,+∞)上单调递增
∴当x≥2时, f'(x)≥0
即2x-a/x²≥0
a≤2x^3
此不等式要对所有x≥2成立，只需当x＝2时成立即可
即a≤2*2^3
a≤16

Answer 3

f'(x)=2x-a/x²=(2x³-a)/x²
要使其单调递增
必须:在x≥2上恒有2x³-a≥0
没错，应该是求的为a的取值
此时a≤16

Answer 4

是应该求a的取值范围
求导得f'(x)=2x-a/x²，令f'(x)=2x-a/x²≥0（x∈[2，+∞)），即a≤2x³≤2×2³=16
故a的取值范围为 a≤16

Answer 5

f'=2x-a/x^2=(2x^3-a)/x^2>0
2x^3>a
x=2, 16>a
是应该a<16
因为x的范围都已给了。