Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x)小于2x的解集为（-1，2）

若方程f(x)+3a=0有两个相等的实跟求f(x)的解析式
若函数f(x)的最小值不大于-3a，且函数G(x) =f(x)-1/3（x的立方）-ax2-3/2x在R上为减函数，求实数a的取值范围

Answer 1

设f(x)=ax^2+bx+c(a≠0），
f(x)-2x=ax^2+(b-2)x+c<=0的解集为（-1,2），
<==>a>0,(2-b)/a=-1+2=1,c/a=-2,
<==>a>0,b=a+2,c=-2a.
(1)f(x)+3a=ax^2+(a+2)x+a=0有相等实根，
<==>(a+2)^2-4a^2=0,
a=2,或a=-2/3(舍）。
(2)f(x)=ax^2+(a+2)x-2a(a>0)的最小值[-2a-(a+2)^2/4a]<=-3a,
<==>(a+2)>=4a^2,
<==>0<a<=2.
G(x）=（-1/3）x^3+(a+1/2)x-2a在R上为减函数,
<==>G'(x)=-x^2+(a+1/2)<=0,
<==>a<=-1/2.
综上，a的取值范围是空集。
∴f(x)=2x^2+4x-4.

Answer 2

设f(x)=ax^2+bx+c
f(x)<2x解集为（-1，2），则f(x)-2x=0的根为-1,2,且a>0.
故-(b-2)/a=-1+2=1,c/a=(-1)*2=-2，得b=-a+2,c=-2a
所以f(x)=ax^2-(a-2)x-2a
1. f(x)+3a=ax^2-(a-2)x+a，△=(a-2)^2-4a^2=0,得a=2/3,a=-2（舍去）
f(x)=(2/3)(x^2+2x-2)
2.