Question

3道高一数学题目,急求解答,求详细过程,谢谢~

1.ABC中,A,B,C分别是三边a,b,c的对角，设m=（cosC/2，sinC/2),n=（cosC/2，-sinC/2),m,n的夹角为π/3，（1）求C的大小；（2）已知c=7/2,三角形的面积S=3又根号3/2,求a+b的值

2.f(x)=2又根号3 sinwxcosws-2sin^2wx+t,y图像上相邻两个对称轴间的距离为3π/2,且关于点(5π/4,-1)对称,(1)求.f(x)的表达式 (2)在△ABC中.若f(C)=1,且b^2=ac,求sinA的值

3.某港口O要将一件重要物品用小船送到一艘正在航行的轮船上,在小船出发时,轮船位于港口O北偏西与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶,假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行四度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.
(1)如希望相遇小船的航行距离最小,则小船航行速度的大小应为多小?
(2)假设小船的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向)

Answer 1

第二题解：
（1）
f(x)=2√3 sinwxcosws-2sin^2wx+t
=√3 sin2wx-2sin^2wx+t
=√3 sin2wx+1-2sin^2wx+t-1
=√3 sin2wx+cos2wx+t-1
=2sin(2wx+π/6)+t-1
T=2π/(2w)=π/w
π/2w=3π/2
w=1/3
y=2sin(2x/3+π/6)+t-1
-1=2sin(2*5π/4/3+π/6)+t-1
-1=2sinπ+t-1
t=0
y=2sin(2x/3+π/6)-1
（2）
1=2sin(2C/3+π/6)-1
sin(2C/3+π/6)=1
C=π/2
那么c^2=a^2+b^2=a^2+ac，即a^2+ac-c^2=0，由正弦定理可得
sin^2A+sinA-1=0，
解得sinA=(-1+√5)/2 （那个负值已舍去）．
第三题解：
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小船航行速度方向必然是沿正北的，所需航行距离是S1，由三角形知识得 S1＝S*cos30度＝20*0.866＝17.32海里
而这段时间内，轮船航行距离是S2＝L*sin30度＝20*0.5＝10海里
所求小艇速度大小是 V1＝S1/ T＝S1*V轮 / S2＝17.32*30 / 10＝51.96海里 / 小时
（2）要使得小艇能以最短时间与轮船相遇，小艇的速度大小肯定取最大值 30海里／小时，
设小艇航行方向与正北方向夹角为A，所用时间为 t ，与轮船相遇。
则因为 S1＞S2 且 V艇＝V轮 可知小艇航行方向是北偏东夹角为A，显然轮船走的线段与小艇走的线段及A点码头连线构成等腰三角形，由初始条件中的30度角可知两个底角是60度，再推出顶角是60度，得三角形是等边三角形，所以 A=30度
V艇*t ＝L
最小时间是 t ＝L / V艇＝20 / 30＝0.667 海里 / 小时

追问

第3题，第2问，小艇的速度大小肯定取最大值 30海里／小时这是为什么呢？

追答

第一题解：
OM=(cosC/2，sinC/2)，
ON=(cosC/2，-sinC/2)=(cos-C/2,sin-C/2)，
∵m,n的夹角为π/3
∴OM*ON=1*1*cosπ/3
=cosC/2*cos(-C/2)+sinC/2*sin(-C/2)=cos[C/2-(-C/2)]
=cosC
∵C∈(0，π/2）
∴C=π/3
S=1/2absinC=3√3/2
absinπ/3=3√3
ab=6
c^2=a^2+b^2-2abcosC=a^2+b^2-ab=a^2+b^2-6=49/4
a^2+b^2=73/4
a^2+b^2+12=73/4+12
a^2+b^2+2ab=121/4
(a+b)^2=121/4
a+b=11/2

追问

第一题，为什么ON=(cosC/2，-sinC/2)=(cos-C/2,sin-C/2)， 的？

追答

cosC/2=cos-C/2
-sinC/2=sin-C/2
这就是三角函数的正负号与角度转换问题。

Answer 2

看图吧