Question

一道八年级简单的几何证明题

在正方形ABCD中，E为AB上的一点，过E作EF⊥AB交正方形的对角线BD于F。G为DF的中点，连EG、CG，求证：EG⊥CG

Answer 1

证明：取AE中点M，连接AG，GM，则GM为直角梯形的中线，所以GM⊥AE，
由SAS易证得△AGM≌△EGM，所以∠MGE=∠MGA=∠DAG=∠DCG，
设∠MGE=∠MGA=∠DAG=∠DCG=∠1，则∠EGB=∠MGB-∠1=45°-∠1，
∠CGB=∠BDC+∠GCD=45°+∠1，
所以∠EGC=∠EGB+∠CGB=45°-∠1+45°+∠1=90°，
即EG垂直CG。

Answer 2

好难啊

Answer 3

你看看题目有没有打错…

Answer 4

首先，看到中点，先想到延长或者倍长中线
我画的辅助线是：延长AD交EG的延长线于H，连接CE和CH
∵DG=GF，EF‖DH
∴易证三角形DGH≌三角形FGE
∴EG=HG，EF=DH，G是EH的中点
易证三角形BEF为等腰直角三角形
∴EF=BE
∴BE=DH
在三角形DHC与三角形BEC中
DC=BC
DH=BE
∠HDC=∠EBC=90°
所以三角形DHC≌三角形BEC
∴CH=CE，∠HCD=∠ECB
由等量加等量和相等得出∠HCD+∠DCE=∠ECB+∠DCE
即∠HCE=∠DCB
∠DCB不是90°嘛
∠HCE就是90°了
这样就证出三角形HCD是一个等腰直角三角形
又∵G是EH中点
∴EG⊥CG得证，而且还证出EG=CG

这种题，就是要抓住“中点”的条件，把看似遥远的条件都汇集起来，利用自己做出的三角形来证明，问题就迎刃而解。

我的方法可能没上面的兄弟简单，不过这种方法可以帮助你解决所有类似的题目