Question

高中函数单调性数学题

已知定义在R*上的函数f(x)满足下列条件：1、对定义域内任意x,y，恒有f(xy)=f(x)+f(y);2、当x>1时，f(x)<0;3、f(2)=-1。问：证明f(x)在(0,正无穷）上为减函数。 写下过程，谢谢

Answer 1

设任意的x1,x2属于（0，正无穷），且x1>x2。f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)，因为x1>x2>0，则(x1/x2)>1,那么f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)<0，因为x1>x2，而f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(0,正无穷）上为减函数。