Question

一道初二数学几何题~~

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P，Q分别是AB,AC上的动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点。
（1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；
（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，说明理由。

Answer 1

（1）因为△ABC是等腰直角三角形，且D是BC的中点
所以AD=BD,，∠B=∠DAQ=45°
又因为BP=AQ
所以△BPD和△AQD全等
所以PD=QD，∠PDQ=∠ADB=90°
所以，△PDQ是等腰直角三角形
（2）结论：运动到AB的中点
证明：因为△ADB是等腰直角三角形且P为AB中点
所以AP=PD且∠APD=90°
所以四边形APDQ是正方形

Answer 2

（1）证三角形BPD和三角形AQD全等（SAS）
AQ=BP,角B=角CAD=45°，BD=AD
全等后有：DP=DQ,角PDB=角QDA
来个角的代换，所以PDB+QDC=QDA+QDC=ADC=90°（表示角）
所以PDQ=90°
（2）正方形则要求QA‖PD则只能让PD为中位线，即P要运动到AB中点

Answer 3

1.证明△AQD全等△BPD(边角边)
2.AB中点，APDQ对角线垂直平分且相等

Answer 4

因为正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的中点
BN=AM=1/2
沿BQ折叠正方形，使点C落在MN上点P处
所以ΔBCQ≌
ΔBPQ
所以BP=BC=1
CQ=QP
有三角形BCQ∽三角形PNB
所以BN/CQ=PN/BC
而在RtΔBNP中
PN=√（BP^2-BN^2)=√3/2
由相似比得PQ=CQ=√3/3

Answer 5

解三角形BCQ与三角形BPQ全等，得到BP=BC=1,BN=1/2,
所以角PBC=60，即角QBC=30,
PQ=CQ,利用勾股定理可以推出BC=√3*CQ,所以CQ=√3/3