Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85,n属于正整数

1。证明{an-1}是等比数列
2。求数列{an}的通项公式,并求出使得S(n+1)大于Sn的最小正整数

Answer 1

a(1)=s(1)=1-5a(1)-85,6a(1)=-84,a(1)=-14.
a(n+1)=s(n+1)-s(n)=(n+1)-5a(n+1)-85-[n-5a(n)-85]=1-5a(n+1)+5a(n),
6a(n+1)=5a(n)+1,6a(n+1)-6=5a(n)-5,
6[a(n+1)-1]=5[a(n)-1],
a(n+1)-1=(5/6)[a(n)-1],
{a(n)-1}是首项为a(1)-1=-14-1=-15,公比为(5/6)的等比数列.
a(n)-1=(-15)(5/6)^(n-1),n=1,2,...
a(n)=1-15(5/6)^(n-1),n=1,2,...
0<s(n+1)-s(n)=a(n+1)=1-15(5/6)^n,
1>15(5/6)^n,
0=ln(1)>ln(15)+n[ln(5)-ln(6)],
n>ln(15)/[ln(6)-ln(5)]~=14.8
n=15.

Answer 2

(1)Sn+1=n+!-5an+1-85 Sn+1-Sn=an+1=1-5an+1+5an所以6an+1-1=5an
6an+1-6=5an-5 所以an+1-1/an-1=5/6所以an-1为等比
（2）a1=S1=1-5a1-85 所以a1=-14 a1-1=-15
所以an=(-15)*（(5/6)的n-1次方）+1 所以Sn=an+an-1.....+a1=(-15)*((5/6)的n-1次方+（5/6）的n-2次方+....+1）+n)=(-15)(6*(1-（5/6）的n-1次方）+n
所以Sn+1-Sn=(-15)*((5/6)的n-1次方-（5/6）的n次方）+1此时要大于等于零1>15(5/6)的n次方,
0=ln(1)>ln(15)+n[ln(5)-ln(6)],n>ln(15)/[ln(6)-ln(5)]~=14.8
所以解得n=15.