Question

已知数列an的前n项和为Sn a1=1 a2=6 且数列a（n+1）-2a是公比为2的等比数列,求Sn

Answer 1

a(n+1)-2a(n)=a*2^(n-1),n=1,2,...
a(2)-2a(1)=a*1=6-2=4,a=4.
a(n+1)-2a(n)=4*2^(n-1)=2^(n+1),n=1,2,...
a(n+1)/2^(n+1)-a(n)/2^n=1,
{a(n)/2^n}是首项为a(1)/2=1/2, 公差为1的等差数列.
a(n)/2^n=1/2+(n-1)=n-1/2,
a(n)=n*2^n-2^(n-1), n=1,2,...
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n-1)+a(n)=1*2^1-2^(1-1) + 2*2^2-2^(2-1) +...+(n-1)*2^(n-1)-2^(n-2) +n*2^n-2^(n-1)=[1*2^1+2*2^2+...+(n-1)*2^(n-1)+n*2^n]-[2^(1-1)+2^(2-1)+...+2^(n-2)+2^(n-1)],
2s(n)=1*2^(1+1)-2*2^(1-1) + 2*2^3-2*2^(2-1) +...+(n-1)*2^n -2*2^(n-2) + n*2^(n+1)-2*2^(n-1)=[1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)]-2[2^(1-1)+2^(2-1)+...+2^(n-2)+2^(n-1)],
s(n)=2s(n)-s(n)=[-1*2^1-2^2-...-2^n+n*2^(n+1)]-[1+2^1+...+2^(n-2)+2^(n-1)]
=n*2^(n+1)-2[1+2^1+...+2^(n-1)]-[1+2^1+...+2^(n-1)]
=n*2^(n+1)-3*[2^n-1]