Question

已知函数f(x)=x^2+ax+b,g(x)=bx+a,且对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立

（1）求实数a的值；
（2）对任意的实数都有f(x)>g(x)恒成立，求b的取值范围

Answer 1

解：
（1）
因为对任意的实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立
所以f(x)的对称轴是x=1
那么x=-a/2=1
故a=-2
（2）
f(x)=x^2-2x+b,g(x)=bx-2
对任意的实数都有f(x)＞g(x)恒成立
即x^2-2x+b＞bx-2
即x^2-(b+2)x+b+2＞0对任意实数x恒成立
所以Δ=[-(b+2)]^2-4(b+2)＜0
即-2＜b＜2

Answer 2

取x=2，则3^2+3a+b=1-a+b
则a=-2
x^2-2x+b-bx+2>0
x^2-(2+b)x+b+2>0恒成立
根据二次函数的性质
则(2+b)^2-4（b+2）<0
b^2-4<0
-2<b<2

Answer 3

(1) f(1+x) = (1+x)^2 +a(1+x) + b = f(1-x) = (1-x)^2 +a(1-x) + b
a = -2
(2) f(x) = x^2-2x+b > g(x) = bx-2
x^2 -(b+2)x +b+2 >0
delta = (b+2)^2 -4*(b+2) < 0
-2<b<2