Question

设直线l与抛物线y的平方=2px(p>0)交于A.B两点,已知当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，三角形OAB的面

积为1/2

问题当直线l经过点P（a，0）（a>0）且与x轴不垂直时，若在x轴上存在点C，使得三角形ABC为正三角形，求a的取值范围

Answer 1

当直线l经过抛物线的焦点且与x轴垂直时，直线方程为X=P/2，代入抛物线方程得
y^2=P即y=√P
S△ABC=1/2*AB*P/2=1/2*2√P*P/2=1/2
得P=1
抛物线方程为y^2=2x
（2）用点斜式得出直线的方程为y=k(x-a)，
设第三点坐标为（c，0）
依题得AC=AB=BC
即（X1-X2）^2+（y1-y2）^2=（X1-c）^2+y1^2=（X2-c）^2+y2^2
（X1-X2）^2+k^2（X1-X2）^2=（X1-c）^2+2X1=（X2-c）^2+2X2
为正三角形这一步太复杂了，因为正三角形判定只有三边相等。况且你题目中的直线又有新参数，因此只能从理论上列出算式，并且数学公式这东西在电脑上打起来太慢了，不打了，到这一步你自己做吧。