Question

一道高三数学题~~~~~急！

已知曲线x^2/a^2+y^2/b^2=1 a≥b>0 恒过点P(根号3,1)当 a b变化时，所有这些曲线上满足 y≥1 的点组成的图形面积等于 ？
要详细解答过程，或思路。如果好的话有追加。

Answer 1

这是一个焦点在x轴上的椭圆，中心在(0,0)。既然恒过(√3,1)，根据对称性，必然恒过(-√3,1)。
则所求部分面积等于y=b√[1-(x/a)^2]和y=1所围的面积。
采用积分运算，对x积分，从-√3积到√3。
S=∫{b√[1-(x/a)^2]-1}dx=b∫√[1-(x/a)^2]dx-x
令x=asinθ，则b∫√[1-(x/a)^2]dx=ab∫(cosθ)^2dθ=ab[sin(2θ)/4+θ/2]=ab{(x/a)√[1-(x/a)^2]+arcsin(x/a)}/2
所以积分结果为F(x)=ab{(x/a)√[1-(x/a)^2]+arcsin(x/a)}/2-x
则所围部分面积S=F(√3)-F(-√3)=√3b√(1-3/a^2)+abarcsin(√3/a)-2√3
又由3/a^2+1/b^2=1——恒过(√3,1)的缘故——有√(1-3/a^2)=1/b，代入上式化简得：
所围部分面积S=[a/√(1-3/a^2)]arcsin(√3/a)-√3 (a>2)