Question

高中函数

已知函数f(x)对任意x,y∈R均满足：f(x+y)=f(x)+f(y)；f(1)=2；当且仅当x<0时，f(x)<0，
求：（1）当-3≤x≤3，求f(x)的最大值与最小值。
*（2）试求满足题目要求的所有函数f(x)。
第2小问要求过程，f(x)=2x是唯一的答案，但是要过程……
还有，仅从可加性得不到单调性啊，即使我说f(x)是单调递减的也成立啊：
假设g(x)是单调递减函数，且满足可加性，令f(x)=-g(x)，则有
-f(x+y)=-f(x)-f(y)，即f(x+y)=f(x)+f(y)，也满足可加性啊。
怎么解释呢？

Answer 1

解：在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取x=0,y=0，可得f(0)=0，
取y=-x，可得f(x)=-f(-x)，即函数f(x)是奇函数，
在f(x)的定义域R内任取x1，x2，使x1<x2，即x1-x2<0
则f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2)<0，
故f(x)在定义域R内是单调递增函数，
（1）因为f(1)=2，所以f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=6，f(-3)=-f(3)=-6，
因为f(x)在定义域R内是单调递增函数，故
当-3≤x≤3，求f(x)的最大值为6，最小值-6
（2）在方程f(x+y)=f(x)+f(y)中取y=x，得f(2x)=2f(x)，
下面用数学归纳法证明对一切n∈Z，x∈R，均有f(nx)=nf(x)，
归纳基础已经证得，假设当n=k时有f(kx)=kf(x)，
则当n=k+1时，f((k+1)x)=f(kx)+f(x)=kf(x)+f(x)=(k+1)f(x)，
因此对一切n∈Z，x∈R，均有f(nx)=nf(x)，
则当x=1时，有f(n)=nf(1)，
设r=p/q，其中p,q∈Z，
则qf(r)=f(p)=pf(1)，即f(p/q)=pf(1)/q，
故对一切r∈Q均有f(r)=rf(1)，
下面结合可加性与单调递增性证明对于一切x∈R均有f(x)=xf(1)，
任取实数x，根据有理数在实数中的稠密性，可以选取一列有理数｛pn｝递增地
趋向于x和一列有理数｛qn｝递减地趋向于x。根据f(x)的单调性可得
pnf(1)=f(pn)≤f(x)≤f(qn)=qnf(1)，n=1,2,3,……
在上式两边令n趋向于无穷，可得xf(1)≤f(x)≤xf(1)，
故对一切x∈R均有f(x)=xf(1)，
注意到f(1)=2，故满足条件的所有函数是f(x)=2x。

这道题第一小问容易，第二小问恐怕是奥赛的吧

Answer 2

（1）
f(x+y)=f(x)+f(y) （其实可以得知这个函数是奇函数，并且在-3≤x≤3内是单调递增的）
令x=y=0,得知f(0)=0
再令x=-y，代入得
0=f(-y)+f(y)
所以，当y>0时，f(y)>0
最大值为f(3)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+f(1)=6
最小值为f(-3)=f(-1)+f(-2)=-f(1)+f(-2)=-2+f(-1)+f(-1)=-6
（2）
答案太多了，比如 f(x)=2x

Answer 3

(1)f(1+0)=f(0)+f(1);
f(0)=0
f(2)=2*f(1)=4
f(3)=f(1)+f(2)=6
f(-1)=f(0)-f(1)=-2
同理：f(-2)=-4;f(-3)=-6
所以最大值为f（3）=6;最小值为f（-3）=-6
(2)f(x)=2*x

Answer 4

不唯一 F(X)=AX+2-A A＞=2
； 当你看到f(x+y)=f(x)+f(y)时，你第一反应，它是一次函数系，经验

追问

别忘了f(1)=2，而且函数确定是唯一的了，
还有，我知道满足f(x+y)=f(x)+f(y)的连续函数是y=cx，
但是这题我要详细过程

Answer 5

（1）大家都会，就不提了
（2）由f(x+y)=f(x)+f(y)得
对f(a)将a分成a份则有f(a)=af(1)=2a
f(x+Δx)=f(x)+f(Δx)=f(x)+2Δx
所以f(x)的导数f‘(x)=【f(x+Δx)-f(x)】/Δx=2
所以f(x)=2x+b,又因为f(0)=0所以f(x)=2x