Question

一道初三 二次函数题

已知：直线y=1/2x+1与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线y=1/2x²-3/2x+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）

（1）动点p在x轴上移动，当△PAE是以p为直角顶点的直角三角形时，求点P的坐标，并说明理由

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使AM-MC的绝对值最大，求出点M的坐标，并说明理由

Answer 1

A点坐标(0,1)
抛物线过AB两点，代入方程可以得到b=-3/2 c=1
所以y=1/2*x^2-3/2*x+1

联立直线和抛物线，得到另外一个交点的坐标为(4,3)

三角形PAE是直角三角形，三个角都有可能是直角。
首先是过点A或者B的垂直于直线的直线与x轴的交点。
垂直线的公式为y=-2x+c
代入A B的坐标得到c= 1 ，11
得到垂线与x轴的交点分别为x=1/2 ，11/2
所以P点坐标为(1/2,0)(11/2,0)
还有就是要∠P为直角。AP^2+BP^2=AB^2 得到x=1
所以P坐标也可能是(1,0)

对称轴为x=3/2 所以M坐标为(3/2,y)

A(0,1) C(2,0)
在△ACM中，两边之差<第三边
|AM-MC|<=AC=根号5
当且仅当M点在AC上等号成立
过AC的直线是 y=-1/2*x+1
当x=3/2时，y=1/4
所以M坐标(3/2,1/4)

Answer 2

(1)设P（x，0），则AP^2=(x-4)^2+3^2，PE^2=x^2+1^2,要△PAE是以P为直角顶点的直角三角形，则AP=PE，可解得x=3，此时AP^2+PE^2=AE^2，所以点P的坐标为（3,0）。
（2）设M（3/2，y)，由于点B和点C关于抛物线的对称轴x=3/2对称，所以当M在直线AB上时，AM-MB=AB，即AM-MC的绝对值最大，此时M坐标为（3/2，-1/2)。（这里用到三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时取等号）。