Question

如图，当X=2时，抛物线Y=AX平方加BX加C取得最小值为负一，并且抛物线与Y轴交于点C（0，3）与X轴交于点A，B

如图，当X=2时，抛物线Y=AX平方加BX加C取得最小值为负一，并且抛物线与Y轴交于点C（0，3）与X轴交于点A，B。（1）求该抛物线的解析式；（2）若点M（X，Y1），N（X+1，Y2）都在该抛物线上，试比较Y1与Y2的大小；（3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A，C两端点除外），过点E作Y轴的平行线EF与抛物线交于点F，是否存在三角形DEF与三角形AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意可设抛物线的关系式为y＝a(x－2)2－1 …………1分
因为点C（0，3）在抛物线上
所以3＝a(0－2)2－1，即a＝1 …………………………2分
所以，抛物线的关系式为y＝(x－2)2－1＝x2－4 x＋3 ……3分
（2）∵点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上
∴y1－y2＝（x2－4 x＋3）－[(x＋1)2－4(x＋1)＋3]＝3－2 x …………4分
当3－2 x＞0，即 时，y1＞y2 ………………………………5分
当3－2 x＝0，即 时，y1＝y2 ………………………………6分
当3－2 x＜0，即 时，y1＜y2 ………………………………7分
（3）令y＝0，即x2－4 x＋3＝0，得点A（3,0），B（1,0），线段AC的中点为D（ , ）
直线AC的函数关系式为y＝－x＋3 ………………………………8分
因为△OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF与△OAC相似，△DEF也必须是等腰直角三角形．由于EF‖OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以点D、F为直角顶点．
①当F为直角顶点时，DF⊥EF，此时△DEF∽△ACO，DF所在直线为
由 ，解得 ， （舍去） ……9分
将 代入y＝－x＋3，得点E（ ， ） …………10分
②当D为直角顶点时，DF⊥AC，此时△DEF∽△OAC，由于点D为线段AC的中点，因此，DF所在直线过原点O，其关系式为y＝x．
解x2－4 x＋3＝x，得 ， （舍去） …………11分
将 代入y＝－x＋3，得点E（ ， ） …………12分