Question

设x大于-1，求y=（x+5）（x+2）/x+1的最值

Answer 1

设x大于-1，求y=(x+5)(x+2)/(x+1)的最值.
解法1：单调性解。
令x+1=t(t>0)，则y=(t+4)(t+1)/t=t+4/t+5，由双钩函数单调性可知，在t=2时取得最小值为9。即为x=1时取得最小值9。
解法2：均值不等式
由解法1知y=t+4/t+5>=2(√t(4/t))+5=9，在t=4/t推出t=2时取得，此时x=1。
解法3：导数法
由解法1对y=t+4/t+5变量t求导，得y'=1-4/t²，则当t=2时，可能有极值，经验证有极小值为y=9。
（上述解法均补充：经验证无最大值。）

Answer 2

设x大于-1，求y=（x+5)(x+2)/(x+1)的最值
解：y=(x+5)(x+2)/(x+1)=(x²+7x+10)/(x+1)=(x+6)+4/(x+1)=(x+1)+4/(x+1)+5≥2(√4)+5=9
当且仅仅当x+1=4/(x+1),即(x+1)²=4，x+1=2，x=1时等号成立。
即当x=1时y获得最小值9；
无最大值：x→ -1⁺limy=+∞；x→+∞limy=+∞.

Answer 3

原式=[(x+5)(x+1)+(x+5)]/(x+1)=(x+5)+(x+5)/(x+1)=(x+1)+4/(x+1)+5≥2√[(x+1)*(4/(x+1))]+5=9

当且仅当x+1=4/(x+1)时,等式成立,即x=1 or x=-2
因为x＞-1
所以当x=1时,y的最小值是9

Answer 4

令t=x+1>0,则y=(t+4)(t+1)/t=t+4/t+5>=2(t*4/t)^(1/2)+5=9
所以函数y=(x+5)(x+2)/(x+1)的最小值为9,当t=4/t,t=2=x+1,
即x=1时取得.

Answer 5

只有最小值lim=4