Question

已知抛物线y=-x²+4x-3与x轴相交与A.B两点，与y轴相交与点C，抛物线的对称轴交x轴与点E。急求高手解决

（1）求A.B.C三点的坐标和抛物线的对称轴；
（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P.与A.B.C三点为顶点构成一个平行四边形？若存在。请写出点P的坐标：若不存在。请说明理由；
（3）连接AC与抛物线的对称轴相交于点D，在抛物线上是否存在一点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由。
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Answer 1

(1)对称轴为X=-b/2a=-4/(-2)=2
代入X=0，则Y=-3
代入Y=0，-x²+4x-3=0
x²-4x+3=0
(X-1)(X-3)=0
X1=1,X2=3
因此与X轴交点为C（0，-3），与Y轴交点为B（1，0）A（3，0）
（2）以P、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形
有两种2情况，①：AB为平行四边形一条边，此时AB平行且等于CP。
当P在C左边时，从点C移动到点P的移动方法与从点A移动到点B的移动方法相同
因为B在A点左侧2个单位，因此P在C点左侧两个单位，此时P坐标为（-2，-3）
当P在C右边时，从点C移动到点P的移动方法与从点B移动到点A的移动方法相同
因为A在B点右侧2个单位，因此P在C点右侧两个单位，此时P坐标为（2，-3）
②当AB为对角线时，因为CB平行且等于AP
所以从C到B的移动方法和从A到P的移动方法相同，因为C到B要右移1个单位，上移3个单位
因此从A到P也要右移1个单位，上移3个单位，所以P点坐标（4，3）
（3）设直线AC表达式为Y=KX+B，代入A（3，0）、C（0，-3）
B=-3，K=1。因此直线AC为：Y=X-3
将D点横坐标，X=2代入Y=X-3，Y=-1。因此DE长度为1
S梯形DEOC=1/2×（OC+DE）×OE=1/2×4×2=4
将直线CM与X轴交点记为Q
直线CM若平分梯形面积，则S△OCQ=1/2×OC×OQ=2，OQ=4/3。
梯形DEOC在Y轴右侧，所以E点横坐标为正，因此Q坐标为（4/3，0）
设直线CQ表达式为Y=KX-3，代入（4/3，0），4K/3=3，K=9/4
直线表达式为Y=9X/4-3
联立：Y=9X/4-3，Y=-X²+4X-3
-X²+4X-3=9X/4-3
X²-7X/4=0
X1=0（舍去）（此时M与C重合）
X2=7/4
将X=7/4代入Y=9X/4-3，Y=15/16
因此M坐标为（7/4，15/16）

Answer 2

(1)令-x²+4x-3=0
-(x-1)(x-3)=0 解出x x1=1 x2=3
所以B点为（1,0）A点为（3,0）
当x=0时，y=-3 所以C点为（0,-3）
对称轴x=(1+3)/2=2
(2)假如P在第四象限则P点的坐标为（x,-3）
BC与AP的斜率相同(3-x)/3=1/3 解出x=2 所以P点的坐标为（2，-3）
同样 若P点在第一象限则P点的坐标为（4，3）
若P点在第三象限则P点的坐标为（-2.-3）
（3）四边形DEOC的面积为(1+3)2/2=4
假设直线CM交x轴于点F，令三角形FOC的面积为2 即3x/2=2 x=4/3
所以直线CM的方程为y+3=(4/9)x