Question

如图,在菱形ABCD中,E为AD中点,EF⊥AC交CB的延长线于F.求证AFBE是平行四边形

Answer 1

事情是这样的：
我们已经知道了AE和BF是平行的了，所以觉得说，只要证明AE=BF就好。

然后我们开始试图证明AE=BF：
首先，我们得给这两条线段找个落脚之处（不然他们飘在天上，我们是抓不到的。意思是你会感觉什么定理都用不上。）于是我们找了最直接的两个三角形：AEG和BFG。

然后，我们会想证明这两个三角形是全等的，然后对应边就相等啦~~
1）显然有∠AGE=∠BGF（关于G的对角）；∠GAE=∠GBF（是平行线的性质哦~）
2）呀呀，要是AG=BG，我们就大功告成了~~

AG为什么要等于BG呢？
1）关于相等，你就只有一个已知：E是中点。所以你就指着G也是中点了……
2）他是一个菱形对吧~~那如果AE=AG，我们的证明就结束了哈~~
3）同学，在△AEG中，AH可是中垂线诶~~用中垂线是可以推出AE=AG滴！

好啦，这个是思路！具体答案自己写哈~~
我一直都比较好奇别人是怎么想到的。因为好像只知道答案的话，下次换我自己做，还是不知道…… 所以给了个思路……

Answer 2

连接BD
因为四边形ABCD为菱形
所以AC⊥BD
又因为EF⊥AC
所以EF//BD
因为E为AD的中点
所以AG为AB的中点（相似），即AG=BG
因为AE//BF
所以∠GAE=∠GBF
因为∠AGE=∠BGF
所以△AGE≌△BGF
所以AE=BF
又因为AE//BF
所以四边形BFAE为平行四边形（对边平行且相等）

Answer 3

证明：连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD．
∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，∴AE=BF，
又AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，
即AB与EF互相平分．

Answer 4

连接BD，AF，BE，
在菱形ABCD中，AC⊥BD
∵EF⊥AC，
∴EF∥BD．
∴四边形EDBF是平行四边形，DE=BF，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED，∴AE=BF，
又AE∥BF，
∴四边形AEBF为平行四边形，